Waagrechter Wurf

Um einen waagrechten Wurf handelt es sich immer dann, wenn man einen Gegenstand waagrecht aus einer gewissen Höhe wegwirft.


Erklärung

Jan wirft den Apfel waagrecht zur Seite weg. Dieser bewegt sich nach rechts, fällt aber gleichzeitig in Richtung Erde.

Zwei Teilbewegungen

Durch die Erdbeschleunigung wird der weggeworfene Gegenstand in Richtung Erde beschleunigt.

Um den waagrechten Wurf mathematisch zu beschreiben, teilt man die Bewegung in 2 Teilbewegungen auf.

  • Teilbewegung 1 ist eine gleichförmige Bewegung in x-Richtung. In x-Richtung wirkt keine Kraft auf den Körper und somit behält der weggeworfene Körper seinen Bewegungszustand bei.
  • Teilbewegung 2 ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in y-Richtung. Es wirkt die Erdanziehungskraft, die den Körper in y-Richtung, also in Richtung Erde, beschleunigt.

Formel

Durch die Aufteilung der Bewegung in zwei Teilbewegungen erhält man auch zwei unterschiedliche Formeln.

Für die gleichförmige Bewegung in x-Richtung gilt:

v_x = \frac{s_x}{t}vx=sxtv_x = \frac{s_x}{t}

Für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung in y-Richtung gilt:

s_y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2sy=12at2s_y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

Für die Beschleunigung a wird normalerweise die Erdbeschleunigung g (g = - 9,81 m/s²) eingesetzt. Das Minus wird meist weggelassen, da es nur die Richtung nach unten angibt, den Betrag aber nicht ändert.

Flugzeit und Flugweite

  • Die Flugdauer t kann man meist über die y-Bewegung berechnen, da normalerweise die Höhe des Abwurfs als auch die Erdbeschleunigung g bekannt sind.
h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \rightarrow t = \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}h=12gt2t=2hgh = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \rightarrow t = \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}
  • Für die Bewegung in x-Richtung gilt natürlich die gleiche Flugdauer t, da auch die Bewegung in x-Richtung mit dem Aufschlag auf dem Boden beendet ist.
  • Die Flugweite (der Weg in x-Richtung) lässt sich dann über die gleichförmige Bewegung in x-Richtung bestimmen, da die Flugzeit t mit obiger Formel berechnet werden kann.
s_x = v_x \cdot tsx=vxts_x = v_x \cdot t

Flugbahn

Zusammen ergeben die beiden Bewegungen eine Parabel, die wie die blaue Flugkurve des Apfels aussehen kann.

In der Grafik sieht man die Flugbahn eines vom Fernsehturm geworfenen Apfels. Diese Flugbahn ist parabelförmig, da sich der Apfel zum einen in x-Richtung, und zum anderen in y-Richtung durch die Erdanziehungskraft beschleunigt wird.

Diese Parabelförmige Flugbahn lässt sich aus der Kombination der beiden Bewegungen in x und in y-Richtung beschreiben. Die gleichförmige Bewegung in x-Richtung lässt sich nach der Zeit auflösen:

v_x = \frac{s_x}{t} \rightarrow t = \frac{s_x}{v_x}vx=sxtt=sxvxv_x = \frac{s_x}{t} \rightarrow t = \frac{s_x}{v_x}

Eingesetzt in die Gleichung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ergibt sich die Bahngleichung zu:

h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot (\frac{s_x}{v_x})^2h=12g(sxvx)2h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot (\frac{s_x}{v_x})^2

Durch diese Gleichung wird also die Flugbahn, also die Parabel, mathematisch beschrieben.

Geschwindigkeit

Geschwindigkeit in x-Richtung

Da beim waagrechten Wurf der Gegenstand immer waagrecht weggeworfen wird, gilt für die Geschwindigkeit in x-Richtung bei Vernachlässigung der Reibung:

v_x = v_0vx=v0v_x = v_0

Geschwindigkeit in y-Richtung

Die Geschwindigkeit in y-Richtung verändert sich, denn der Gegenstand wird durch die Erdanziehung beschleunigt. Es handelt sich um die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit, da der Körper anfangs keine Geschwindigkeit in y-Richtung besitzt. Damit gilt die Formel:

v_y = g \cdot tvy=gtv_y = g \cdot t

Gesamtgeschwindigkeit

Die Gesamtgeschwindigkeit des Gegenstands ist die Kombination aus der Geschwindigkeit in x-Richtung und der Geschwindigkeit in y-Richtung. Laut dem Satz des Pythagoras gilt:

v_{ges} = \sqrt{v_x^2+ v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (g \cdot t)^2}vges=vx2+vy2=v02+(gt)2v_{ges} = \sqrt{v_x^2+ v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (g \cdot t)^2}

Überblick über die Gleichungen

In der nachfolgenden Tabelle sind nochmal alle Gleichungen zum waagrechten Wurf übersichtlich aufgelistet:

Zeit-Ort Zusammenahng

Zeit-Geschwindigkeit Zusammenahng

x-Richtung

s_x = v_0 \cdot tsx=v0ts_x = v_0 \cdot t
v_x = v_0vx=v0v_x = v_0

y-Richtung

s_y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2sy=12gt2s_y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2
v_y = g \cdot tvy=gtv_y = g \cdot t

Bahnkurve

Gesamtgeschwindigkeit

Gesamte Bewegung

h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot (\frac{s_x}{v_0})^2h=12g(sxv0)2h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot (\frac{s_x}{v_0})^2
v_{ges} = \sqrt{v_0^2 + (g \cdot t)^2}vges=v02+(gt)2v_{ges} = \sqrt{v_0^2 + (g \cdot t)^2}

Beispiele

Höhe eines Hausdachs

Jan wirft einen Ball waagrecht von einem Hausdach weg. Der Ball schlägt nach 2,5 s auf dem Boden auf. Auf welcher Höhe schmeißt Jan den Ball weg?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

t = 2,5 \text{ s} \\ a = g = 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} t=2,5 sa=g=9,81ms2t = 2,5 \text{ s} \\ a = g = 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

s_y= \: ?sy=?s_y= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

s_y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2sy=12at2s_y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Wenn der Ball zwei Sekunden gefallen ist, so wurde er zwei Sekunden mit 9,81 m/s² in Richtung Erde beschleunigt.

Einsetzen liefert den in y-Richtung zurückgelegten Weg:

s_y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2sy=12gt2s_y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2s_y = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2,5 \text{ s})^2sy=129,81ms2(2,5 s)2s_y = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2,5 \text{ s})^2s_y \approx 31 \text{ m}sy31 ms_y \approx 31 \text{ m}

Der in y-Richtung zurückgelegte Weg entspricht der Höhe des Hausdachs.

Somit ist das Haus 31 m hoch.

Geschwindigkeit des geworfenen Balls

Jan wirft nochmals den Ball von dem gleichen Hausdach. Der Ball landet wieder 2,5 s nach dem Abwurf 20 m entfernt vom Haus. Mit welcher Geschwindigkeit hat Jan den Ball geworfen?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

s_x = 20 \text{ m}\\ t = 2,5 \text{ s} sx=20 mt=2,5 ss_x = 20 \text{ m}\\ t = 2,5 \text{ s}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

v_x= \: ?vx=?v_x= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

v = \frac{s_x}{t}v=sxtv = \frac{s_x}{t}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Für die Berechnung der Geschwindigkeit müssen wir nur die gleichförmige Bewegung in x-Richtung betrachten.

Du erhälst die Lösung direkt durch einsetzen:

v_x = \frac{s_x}{t}vx=sxtv_x = \frac{s_x}{t}v_x = \frac{20 \text{ m}}{2,5 \text{ s}}vx=20 m2,5 sv_x = \frac{20 \text{ m}}{2,5 \text{ s}}v_x = 8 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}vx=8msv_x = 8 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

Das rechnest du noch kurz in km/h um:

v_x = 8 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3,6 \approx 29 \:\frac{\text{km}}{\text{h}}vx=8ms3,629kmhv_x = 8 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3,6 \approx 29 \:\frac{\text{km}}{\text{h}}

Jan hat den Ball also mit 29 km/h weggeworfen.

Apfelwurf vom Fernsehturm

Jan steht auf dem dem Fernsehturm (210 m) in Berlin. Er will wissen, wie weit er werfen kann. Deshalb wirft er einen Apfel mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s waagrecht weg. Wie weit vom Fernsehturm entfernt kommt der Apfel auf dem Erdboden auf?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

h = 210 \text{ m} \\ v_x = 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ g = 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} h=210 mvx=15msg=9,81ms2h = 210 \text{ m} \\ v_x = 15 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ g = 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

s_x= \: ?sx=?s_x= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

v = \frac{s_x}{t} \\ s_y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2v=sxtsy=12at2v = \frac{s_x}{t} \\ s_y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Über die Bewegung in y-Richtung kannst du durch umstellen der Gleichung zunächst die Fallzeit berechnen:

t = \sqrt{\frac{2\cdot s_y}{g}}t=2sygt = \sqrt{\frac{2\cdot s_y}{g}}t = \sqrt{\frac{2\cdot 210 \text{ m}}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}t=2210 m9,81ms2t = \sqrt{\frac{2\cdot 210 \text{ m}}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}t \approx 6,54 \text{ s}t6,54 st \approx 6,54 \text{ s}

Der Apfel benötigt also ungefähr 6,54 s bis zum Boden.

Die in der Zeit zurückgelegte Strecke in x-Richtung kannst du nun mithilfe der Zeit berechnen:

v_x = \frac{s_x}{t}vx=sxtv_x = \frac{s_x}{t}

Umstellen nach der Strecke:

s_x = v_x \cdot tsx=vxts_x = v_x \cdot ts_x = 15~\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6,54 \text{ s}sx=15ms6,54 ss_x = 15~\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 6,54 \text{ s}s_x \approx 98 \text{ m}sx98 ms_x \approx 98 \text{ m}

Der Apfel schlägt also 98 m entfernt vom Fernsehturm auf.

Skispringer

Bei der Berechnung zum waagrechten Wurf muss es sich nicht immer um einen "Wurf" handeln. Dies zeigt die obige Animation. Die Bewegung des Skispringers lässt sich z.B. auch prima durch die Fomeln des waagrechten Wurfs darstellen. Der Skispringer verlässt die Schanze mit einer Geschwindigkeit v in x-Richtung. Außerdem beginnt sein Flug auch waagrecht zum Boden. Anschließend wird er durch die Erdanziehung nach unten beschleunigt. Die Bewegung lässt sich also exakt durch die Gleichungen des waagrechten Wurfs beschreiben.

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