Schiefe Ebene mit Reibung

Unter dem Begriff Reibung versteht man den Widerstand zwischen zwei Körpern, die sich berühren.


Reibung auf schiefer Ebene

Sieh dir die Animation an. Jan braust mit seinem Schlitten die schiefe Ebene hinunter.

Er wird dabei mit der Hangabtriebskraft entlang des Abhangs beschleunigt. Allerdings wirkt dabei noch eine andere Kraft auf ihn, nämlich die Reibungskraft. Diese bremst Jan ein wenig ab.

Drücke auf den Button Kraftpfeile. Du siehst, dass die Hangabtriebskraft größer als die Reibungskraft ist, weshalb Jan sich insgesamt mit einer resultierenden Kraft nach unten bewegt.

Hangabtriebskraft

Die Hangabtriebskraft ist die resultierende Kraft, mit der ein Körper auf einer schiefen Ebene nach unten beschleunigt wird.

Reibung

Die Reibung auf einer schiefen Ebene wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung, bei einer schiefen Ebene also immer nach oben entlang des Hangs.

Bei bewegten Körpern wirkt die Gleitreibung, bei unbewegten Körpern die Haftreibung.

Bewegte Körper

Wenn sich ein Körper die schiefe Ebene hinunter bewegt, dann wird er durch die Hangabtriebskraft nach unten beschleunigt. Allerdings wirkt dabei die Gleitreibung in entgegen gesetzte Richtung. Übrig bleibt eine resultierende beschleunigende Kraft. Die obige Animation hat genau diesen Fall gezeigt. Die resultierende beschleunigende Kraft lässt sich wie folgt berechnen.

Formel

F_{B} = F_H - F_RFB=FHFRF_{B} = F_H - F_R

wobei ...

F_B = \text{ resultierende beschleunigende Kraft}FB= resultierende beschleunigende KraftF_B = \text{ resultierende beschleunigende Kraft}F_H = \text{ Hangabtriebskraft}FH= HangabtriebskraftF_H = \text{ Hangabtriebskraft}F_R = \text{Gleitreibungskraft}FR=GleitreibungskraftF_R = \text{Gleitreibungskraft}

Die Hangabtriebskraft und die Gleitreibung lassen sich berechnen:

F_H = F_G \cdot \sin{\alpha} = m \cdot g \cdot \sin{\alpha}FH=FGsinα=mgsinαF_H = F_G \cdot \sin{\alpha} = m \cdot g \cdot \sin{\alpha}F_R = \mu_G \cdot m \cdot g \cdot \cos{\alpha}FR=μGmgcosαF_R = \mu_G \cdot m \cdot g \cdot \cos{\alpha}

Dabei ist ...

\mu_g = \text{ Gleitreibungskoeffizient}μg= Gleitreibungskoeffizient\mu_g = \text{ Gleitreibungskoeffizient}

Unbewegte Körper

Ein Körper kann aber auch auf einer schiefen Ebene haften bleiben. Das heißt er bewegt sich nicht.

Dann ist die Haftreibung genauso groß, wie die Hangabtriebskraft. Deshalb bewegt sich der Körper nicht.

Ein Beispiel wäre der Holzklotz, der auf einer schiefen Ebene haftet.

Ein Holtzklotz haftet auf einer schiefen Ebene

Formel

In diesem Fall heben sich die Hangabtriebskraft und die Haftreibung auf. Das heißt es gilt:

F_H = F_RFH=FRF_H = F_R

wobei ...

F_H = \text{ Hangabtriebskraft}FH= HangabtriebskraftF_H = \text{ Hangabtriebskraft}F_R = \text{ Haftreibung}FR= HaftreibungF_R = \text{ Haftreibung}

Die Hangabtriebskraft und die Haftreibung lassen sich berechnen:

F_H = F_G \cdot \sin\alpha = m \cdot g \cdot \sin{\alpha}FH=FGsinα=mgsinαF_H = F_G \cdot \sin\alpha = m \cdot g \cdot \sin{\alpha}F_R = \mu_G \cdot m \cdot g \cdot \cos{\alpha}FR=μGmgcosαF_R = \mu_G \cdot m \cdot g \cdot \cos{\alpha}

Beispiele

Beschleunigung beim Schlittenfahren

Wir wollen nun die tatsächliche Beschleunigung beim Schlittenfahren berechnen. Zur Wiederholung kannst du dir in der Animation nochmal anschauen, wie die resultierende beschleunigende Kraft entsteht.

Jan wiegt zusammen mit seinem Schlitten 95 kg, der Gleitreibungskoeffizient zwischen Schlitten und Schnee sei 0,3 und der Neigungswinkel der schiefen Ebene 30°. Was ist dann die tatsächliche Beschleunigung hangabwärts?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} \mu_R &= 0,3 \\ g &= 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ m &= 0,95 \text{ kg} \\ \alpha &= 30° \end{aligned} μR=0,3g=9,81ms2m=0,95 kgα=30°\begin{aligned} \mu_R &= 0,3 \\ g &= 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ m &= 0,95 \text{ kg} \\ \alpha &= 30° \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

a= \: ?a=?a= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

F_B = F_H - F_RFB=FHFRF_B = F_H - F_R

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Du kannst die resultierende beschleunigende Kraft einfach durch die Formel berechnen. Die Hangabtriebskraft beschleunigt Jan, die Gleitreibung bremst ihn ab. Daraus ergibt sich die resultierende Kraft:

F_B = m \cdot g \cdot \sin{\alpha} - \mu_G \cdot m \cdot g \cdot \cos{\alpha}FB=mgsinαμGmgcosαF_B = m \cdot g \cdot \sin{\alpha} - \mu_G \cdot m \cdot g \cdot \cos{\alpha}F_B = 95 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \sin(30°) - 0,3 \cdot 95 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \cos(30°)FB=95 kg9,81ms2sin(30°)0,395 kg9,81ms2cos(30°)F_B = 95 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \sin(30°) - 0,3 \cdot 95 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \cos(30°)F_B \approx 224 \text{ N}FB224 NF_B \approx 224 \text{ N}

Laut dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt für die beschleunigende Kraft:

F_B = m \cdot aFB=maF_B = m \cdot a

Durch Umstellen nach a und einsetzen erhältst du die Lösung:

a = \:\frac{F_B}{m}a=FBma = \:\frac{F_B}{m}a = \:\frac{224 \text{ N}}{95 \text{ kg}}a=224 N95 kga = \:\frac{224 \text{ N}}{95 \text{ kg}}a = 2,4 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}a=2,4ms2a = 2,4 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Jan wird also schlussendlich mit einer Beschleunigung von 2,4 m/s² bergab beschleunigt.

Holzklotz haftet auf schiefer Ebene

Ein Holzklotz liegt auf einer schiefen Ebene. Der Holzklotz habe eine Masse von 2 kg. Der Haftreibungskoeffizient sei 0,9. Wie groß kann der Neigungswinkel alpha höchstens werden, damit der Holzklotz nicht zu rutschen beginnt?

Ein Holtzklotz haftet auf einer schiefen Ebene. Die Hangabtriebskraft und die Reibungskraft heben sich gegenseitig auf.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} \mu_H &= 0,9 \\ m &= 2 \text{ kg}\end{aligned} μH=0,9m=2 kg\begin{aligned} \mu_H &= 0,9 \\ m &= 2 \text{ kg}\end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

\alpha= \: ?α=?\alpha= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

F_H = F_RFH=FRF_H = F_R

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Solange der Holzklotz nicht zum rutschen beginnt, herrscht ein Kräftegleichgewicht. Das heißt, die Hangabtriebskraft ist genau so groß, wie die Haftreibung, also heben sich die zwei Kräfte gegenseitig auf.

Man setzt also an:

F_H = F_RFH=FRF_H = F_Rm \cdot g \cdot \sin{\alpha} = \mu_H \cdot m \cdot g \cdot \cos{\alpha}mgsinα=μHmgcosαm \cdot g \cdot \sin{\alpha} = \mu_H \cdot m \cdot g \cdot \cos{\alpha}

Das m und das g kürzt sich:

\sin{\alpha} = \mu_H \cdot \cos{\alpha}sinα=μHcosα\sin{\alpha} = \mu_H \cdot \cos{\alpha}\mu_H = \:\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}μH=sinαcosα\mu_H = \:\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}

Laut der Mathematik gilt, dass der Sinus geteilt durch den Cosinus den Tangens ergibt.

\mu_H = \tan{\alpha}μH=tanα\mu_H = \tan{\alpha}

Somit folgt für den Winkel:

\alpha = \tan^{-1}({\mu_H})α=tan1(μH)\alpha = \tan^{-1}({\mu_H})\alpha = \tan^{-1}({0,9})α=tan1(0,9)\alpha = \tan^{-1}({0,9})\alpha \approx 42°α42°\alpha \approx 42°

Der Winkel ab dem der Holzblock zu rutschen beginnt ist 42°. Ab diesem Winkel ist die Hangabtriebskraft also größer als die Haftreibung.

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