Mechanische Energieketten

Unter Energieketten und Energieübertragung ist die Umwandlung von einer Energieform in beliebig viele andere Energieformen zu verstehen.


Umwandlung von Energie

Auf der Erde kommt es ständig zu einem Energieaustausch. Laut dem Energieerhaltungssatz werden Energien dabei nie vernichtet, sie werden nur in andere Energieformen umgewandelt.

Energieumwandlungen beim Trampolinspringen

Wenn Jan Trampolin springt, finden folgende Energieumwandlungen statt. Am höchsten Punkt besitzt Jan lediglich potentielle Energie (Höhenenergie). Diese wird beim Herabfallen in kinetische Energie umgewandelt. Anschließend wird die kinetische Energie beim Aufkommen auf dem Trampolin als Spannenergie in den Federn des Trampolins gespeichert.

Diese Spannenergie wird nun beim Herausschleudern von Jan wieder in kinetische Energie und anschließend in potentielle Energie umgewandelt. Jan befindet sich dann wieder am höchsten Punkt und der Kreislauf beginnt erneut.

Mechanische Energieumwandlungen

In der Mechanik beschäftigt man sich mit den Umwandlungen von folgenden Energieformen.

Energieform

Potentielle Energie

Kinetische Energie

Spannenergie

Formel

E_{pot} = m \cdot g \cdot hEpot=mghE_{pot} = m \cdot g \cdot h
E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2Ekin=12mv2E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2
E_{span} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2Espan=12Ds2E_{span} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2

Berechnung von Energieketten

Bei Energieketten wird immer ein Teil der Energie in andere Energieformen umgewandelt. Um bestimmte Größen zu berechnen, muss man die Energien, die ineinander umgewandelt werden, gleichsetzen.

E_1 = E_2 + E_3E1=E2+E3E_1 = E_2 + E_3

Energieketten beruhen auf dem Energieerhaltungssatz. Die Gesamtenergie im System bleibt immer gleich.

Energieumwandlungen in der Realität

In der Realität finden allerdings keine Energieumwandlungen statt, ohne dass ein Teil der Energie in sogenannter Reibungsenergie (= thermische Energie) verloren geht. Für Berechnungen in der Schule ist die Reibungsenergie aber so gut wie immer zu vernachlässigen.


Beispiele

Jan beim Klippenspringen

Jan ist Klippenspringen. Er steht auf einem Felsen 8 m über dem Wasserspiegel und wiegt 79 kg. Wie können wir Jans Eintauchgeschwindigkeit berechnen, wenn wir annehmen, dass keine Energie durch Reibung während des Sprungs verloren geht.

Lösung

Gegeben:

h = 8~\text{m}\\ m = 79~\text{kg}h=8 mm=79 kgh = 8~\text{m}\\ m = 79~\text{kg}

Gesucht:

v=?v=?v=?

Formel:

E_{pot} = m \cdot g \cdot hEpot=mghE_{pot} = m \cdot g \cdot hE_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2Ekin=12mv2E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2

Lösungsweg:

Unter der Annahme, dass keine Reibungsverluste entstehen, wandelt sich die komplette potentielle Energie von Jan in kinetische Energie um. Deshalb setzen wir an:

E_{pot} = E_{kin}Epot=EkinE_{pot} = E_{kin}m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2mgh=12mv2m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2

Auflösen der Gleichung nach v liefert:

v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}v=2ghv = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}

Einsetzen liefert:

v = \sqrt{2 \cdot 9,81\:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 8\text{ m}} \approx 12,5~ \frac{\text{m}}{\text{s}}v=29,81ms28 m12,5msv = \sqrt{2 \cdot 9,81\:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 8\text{ m}} \approx 12,5~ \frac{\text{m}}{\text{s}}v = 12,5~ \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3,6 = 45 \:\frac{\text{km}}{\text{h}}v=12,5ms3,6=45kmhv = 12,5~ \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3,6 = 45 \:\frac{\text{km}}{\text{h}}

Masse eines Softgun Kügelchens

Jan spielt mit seiner Softgun. Er weiß, dass die Federhärte der Feder in seiner Softgun 750 N/m beträgt und die Feder bei einem Schuss eines Plastikkügelchens um 2 cm zusammengedrückt wird. Die Geschwindigkeit, mit der die Kugel die Softgun verlässt, beträgt 36 km/h. Wie können wir nun die Masse m eines Plastikkügelchens berechnen?

Lösung

Gegeben:

s = 2 \text{ cm} = 0,02 \text{ m}\\ v = 36 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} = 10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ D = 750 \:\frac{\text{N}}{\text{m}}s=2 cm=0,02 mv=36kmh=10msD=750Nms = 2 \text{ cm} = 0,02 \text{ m}\\ v = 36 \:\frac{\text{km}}{\text{h}} = 10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ D = 750 \:\frac{\text{N}}{\text{m}}

Gesucht:

m=?m=?m=?

Formel:

E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2Ekin=12mv2E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2E_{span} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2Espan=12Ds2E_{span} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2

Lösungsweg:

Da die komplette Spannenergie in die kinetische Energie der Kugel umgewandelt wird, müssen wir die Spannenergie mit der kinetischen Energie gleichsetzen:

E_{span} = E_{kin}Espan=EkinE_{span} = E_{kin}\frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^212Ds2=12mv2\frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2

Auflösen nach m liefert:

m = \frac{D \cdot s^2}{v^2}m=Ds2v2m = \frac{D \cdot s^2}{v^2}m = \frac{750 \:\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot (0,02 \text{ m})^2}{(10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}})^2} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ kg} = 3 \text{ g}m=750Nm(0,02 m)2(10ms)2=3103 kg=3 gm = \frac{750 \:\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot (0,02 \text{ m})^2}{(10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}})^2} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ kg} = 3 \text{ g}
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