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Fadenstrahlrohr

Mit dem Fadenstrahlrohr kannst du die Masse oder auch die spezifische Ladung von Elektronen bestimmen.

Aufbau

Das Fadenstrahlrohr ist ein physikalischer Versuchsaufbau, mit dem sich die Elektronenmasse oder die spezifische Ladung von Elektronen bestimmen lässt. Dazu werden Elektronen beschleunigt und über das Magnetfeld einer Spule auf eine Kreisbahn gelenkt, deren Radius gemessen werden kann.

Das Fadenstrahlrohr besteht aus verschiedenen Bauteilen:

Elektronenkanone
Gasgefüllter Glaskolben
Helmholtzspule
Maßstab

Im Inneren der Elektronenkanone herrscht ein Vakuum. Sie besteht ebenfalls aus mehreren Bauteilen:

Glaskolben (Vakuum)
Glühwendel mit Heizspannung
Metallzylinder
Anodenring mit Beschleunigungsspannung

Funktionsprinzip

Elektronenkanone

Die Glühwendel wird durch die Heizspannung so erhitzt , dass sich Elektronen aus dem Metall lösen (Glühelektrischer Effekt).
Die Wände des Metallzylinders sind negativ geladen. Aus diesem Grund werden die Elektronen abgestoßen und bündeln sich in der Mitte.
Zwischen Glühwendel und Anodenring wird eine Beschleunigungsspannung angelegt. Diese beschleunigt die Elektronen in Richtung der positiv geladenen Anode.
Die Elektronen schießen anschließend als feiner Strahl aus der Elektronenkanone.

Glaskolben und Spule

Zwischen den beiden stromdurchflossenen Spulen der Helmholtzspule wird durch Induktion ein Magnetfeld erzeugt.
Auf die Elektronen wirkt somit die Lorentzkraft, die die Elektronen auf eine Kreisbahn lenkt. Die jeweilige Bewegungsrichtung kannst du mit der Linke-Hand-Regel bestimmen.

Ein Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn nach links. Der Daumen einer linken Hand zeigt daher ebenfalls nach links. Nach oben wirkt ein Magnetfeld. In diese Richtung zeigt auch der Zeigefinger. Der Mittelfinger zeigt nun auf die eigene Person. In diese Richtung wirkt auch die Lorentzkraft.

Der Glaskolben ist mit einem Gas gefüllt. Durch das Stoßen der Elektronen mit dem Gas wird Licht emittiert. Dieses Licht macht die Kreisbahn mit bloßem Auge sichtbar.
Am Maßstab kannst du nun den Durchmesser ablesen.

Theoretischer Hintergrund

Die potentielle Energie der Elektronen an der Glühwendel wird auf dem Weg zum Anodenring vollständig in kinetische Energie umgewandelt. Daher gilt nach dem Energieerhaltungssatz für die Elektronen:

E_{pot(Wendel)} = E_{kin(Anode)}

E_{pot(Wendel)} = E_{kin(Anode)}

\implies e \cdot U_{B} = \frac{1}{2} m \cdot v^{2}

\implies e \cdot U_{B} = \frac{1}{2} m \cdot v^{2}

Diese Gleichung kannst du schon mal nach v^2 $v^2$ umstellen:

\textcolor{sc_color_1} {v = \sqrt {\frac{2e \cdot U_{B}}{m}}}

\textcolor{#7F7706} {v = \sqrt {\frac{2e \cdot U_{B}}{m}}}

Die Lorentzkraft steht senkrecht zu der Elektronenbewegung und dem Magnetfeld. Sie ist daher immer auf den Mittelpunkt der Kreisbahn ausgerichtet.

An einer Kreisbahn sind Pfeile Richtung Mittelpunkt eingezeichnet. Sie stellen die Lorentz- und zugleich die Zentripetalkraft dar.

Damit wirkt sie als Zentripetalkraft. Es gilt:

F_{L} = F_{Z}

F_{L} = F_{Z}

\implies e \cdot v \cdot B = m \cdot \frac{v^{2}}{r}

\implies e \cdot v \cdot B = m \cdot \frac{v^{2}}{r}

Stelle diese Gleichung nun nach m $m$ um.

\col[2]{m = e \cdot {B} \cdot\frac{r}{v}}

\col[2]{m = e \cdot {B} \cdot\frac{r}{v}}

Setzt du für v $v$ nun die Gleichung aus dem Energieerhaltungssatz ein, kannst du durch Quadrieren und Kürzen die Gleichung zur Bestimmung der Elektronenmasse herleiten:

\textcolor{sc_color_2} {m =} \frac{\textcolor{sc_color_2} {e \cdot B \cdot r}}{\textcolor{sc_color_1} {\sqrt {\frac{2e \cdot U_{B}}{m}}}} \\ \implies \textcolor{sc_color_2} {m² = \frac{e^2 \cdot B^2 \cdot r^2 \textcolor{sc_color_1} {\cdot m}} \textcolor{sc_color_1} {2e \cdot U_{B}}}

\textcolor{#0069FC} {m =} \frac{\textcolor{#0069FC} {e \cdot B \cdot r}}{\textcolor{#7F7706} {\sqrt {\frac{2e \cdot U_{B}}{m}}}} \\ \implies \textcolor{#0069FC} {m² = \frac{e^2 \cdot B^2 \cdot r^2 \textcolor{#7F7706} {\cdot m}} \textcolor{#7F7706} {2e \cdot U_{B}}}

\implies m = \frac{B^{2} \cdot r^{2}}{2 \cdot U_{B}} \cdot e

\implies m = \frac{B^{2} \cdot r^{2}}{2 \cdot U_{B}} \cdot e

Bei unbekannter Elektronenladung kannst du die spezifische Elektronenladung \frac{-e}{m} $\frac{-e}{m}$ berechnen:

\frac{-e}{m} = - \frac{2 \cdot U}{B^{2} \cdot r^{2}}

\frac{-e}{m} = - \frac{2 \cdot U}{B^{2} \cdot r^{2}}

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Sonderfall: Position der Kanone

Du weißt schon: Trifft der Elektronenstrahl senkrecht zum Magnetfeld der Spule ein, entsteht durch die Lorentzkraft eine Kreisbahn.
Dabei sind Bewegungsrichtung, Magnetfeld und Lorentzkraft jeweils im 90°-Winkel zueinander ausgerichtet.

Magnetfeld und Bewegungsrichtung sind senkrecht zueinander. Es entsteht eine Kreisbahn.

Trifft der Elektronenstrahl aber parallel dazu ein, ist der Winkel zwischen Magnetfeld und Bewegungsrichtung 0° oder 180°. In diesem Fall kann keine Lorentzkraft wirken und die Elektronen bewegen sich einfach geradlinig weiter.

Magnetfeld und Bewegungsrichtung sind parallel zueinander. Es entsteht eine Gerade.

Die Elektronenkanone lässt sich aber verschieben.
Liegt der Winkel zwischen Bewegungsrichtung und Magnetfeld jetzt nicht bei 0°, 90° oder 180°, kombinieren sich die beiden Bewegungsarten:
Die Elektronen bewegen sich im Kreis und gleichzeitig vorwärts. Dadurch entsteht eine Schraubenlinie.

Magnetfeld und Bewegungsrichtung sind weder senkrecht noch parallel zueinander. Es entsteht Schraubenlinie.

Beispiele

Spannungen verändern

Jan experimentiert mit dem Fadenstrahlrohr. Er erzeugt einen blassen Elektronenstrahl mit mittlerem Radius.
Jan erhöht zunächst die Heizspannung. Danach erhöht er auch die Beschleunigungsspannung.

Beschreibe, was Jan beobachtet.

Lösung

Erhöht Jan die Heizspannung, werden mehr Elektronen aus der Glühwendel geschlagen. Auf diese Weise stoßen auch viel mehr Elektronen gleichzeitig mit Gasteilchen und senden Licht aus. Der Elektronenstrahl wird dadurch viel heller und besser sichtbar.

Eine höhere Beschleunigungsspannung bedeutet auch eine höhere Geschwindigkeit der Elektronen und somit einen größeren Radius.
Klar - etwas das schneller unterwegs ist, kann man nicht so leicht ablenken.
Das Ganze kannst du aber auch über die Gleichung zur Bestimmung der Elektronenmasse im Fadenstrahlrohr nachweisen:

m = \frac{B^{2} \cdot r^{2} \cdot e}{2 \cdot U_{B}}

m = \frac{B^{2} \cdot r^{2} \cdot e}{2 \cdot U_{B}}

Die Elektronenmasse und -ladung sind Konstanten. Am B-Feld ändert Jan nichts.
Es kann sich demnach neben der Beschleunigungsspannung nur der Radius ändern.

Erhöht Jan die Spannung U_B $U_B$ muss also auch der Radius r $r$ größer werden, damit die gleiche Masse dabei herauskommt, denn die Elektronenmasse ist ja konstant.

Lorentz- und Zentripetalkraft

Erkläre den Zusammenhang von Lorentzkraft und Zentripetalkraft beim Fadenstrahlrohr, wenn die Elektronenkanone senkrecht zum Magnetfeld ausgerichtet ist.

Lösung

Die Lorentzkraft steht senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen und dem Magnetfeld. Dadurch ist sie stets auf den Kreismittelpunkt der Elektronenbahn ausgerichtet. So zwingt sie Elektronen auf der Kreisbahn zu verbleiben.
Die Zentripetalkraft beschreibt allgemein die Kraft, die einen Körper auf einer gekrümmten Bahn hält.
Das bedeutet, dass es sich hier nicht um zwei verschiedene Kräfte handelt, sondern um dieselbe.
Die Lorentzkraft und die Zentripetalkraft können demnach gleichgesetzt werden.

Geschwindigkeit berechnen

Du legst an deine Elektronenkanone eine Beschleunigungsspannung von 30 \text { V} $30 \text { V}$ an. Deine Elektronen haben eine Masse von 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} $9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$ und eine Ladung von 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} $1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ .
Berechne die maximale Geschwindigkeit der Elektronen unter Berücksichtigung des Energieerhaltungssatzes.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

\begin{aligned} U_{B} &= 30 \text { V} \\ m_{e} &= 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \\ e &= 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \end{aligned}

\begin{aligned} U_{B} &= 30 \text { V} \\ m_{e} &= 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \\ e &= 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

v= \: ?

v= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

E_{pot(Wendel)} = E_{kin(Anode)}

E_{pot(Wendel)} = E_{kin(Anode)}

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

Auf Grund des Energieerhaltungssatzes gilt für die Elektronen in der Elektronenkanone:

E_{pot(Wendel)} = E_{kin(Anode)}

E_{pot(Wendel)} = E_{kin(Anode)}

\implies e \cdot U_{B} = \frac{1}{2} m \cdot v^{2}

\implies e \cdot U_{B} = \frac{1}{2} m \cdot v^{2}

Die maximale Geschwindigkeit haben die Elektronen am Anodenring erreicht, da sie danach nicht weiter beschleunigt werden. Die Elektronengeschwindigkeit an der Anode ist in der Gleichung für die kinetische Energie an der Anode enthalten.
Der Energieerhaltungssatz muss also nach v $v$ umgestellt werden:

\begin{aligned} e \cdot U_{B} &= \frac{1}{2} m \cdot v^{2} \qquad&&|: \frac{1}{2}m \\ \frac{e \cdot U_B}{\frac{1}{2} \cdot m} &= v^2 \\ v^{2} &= \frac{2 \cdot e \cdot {U_B}}{m_{e}} \end{aligned}

\begin{aligned} e \cdot U_{B} &= \frac{1}{2} m \cdot v^{2} \qquad&&|: \frac{1}{2}m \\ \frac{e \cdot U_B}{\frac{1}{2} \cdot m} &= v^2 \\ v^{2} &= \frac{2 \cdot e \cdot {U_B}}{m_{e}} \end{aligned}

\implies v = \sqrt\frac{2 \cdot e \cdot {U_B}}{m_{e}}

\implies v = \sqrt\frac{2 \cdot e \cdot {U_B}}{m_{e}}

Nun musst du noch die gegebenen Werte einsetzen:

v = \sqrt {\frac{2 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 30 \text { V}} {9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}}

v = \sqrt {\frac{2 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 30 \text { V}} {9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}}

Abschließend kannst du die Gleichung ausrechnen:

\lsg { v= 3,25 \cdot 10^{6} \text{ } \frac{\text {m}}{\text{s}} = 3250 \text{ } \frac{\text {km}}{\text{s}}}

\lsg { v= 3,25 \cdot 10^{6} \text{ } \frac{\text {m}}{\text{s}} = 3250 \text{ } \frac{\text {km}}{\text{s}}}

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