Einzelspalt

Das Einzelspaltexperiment zeigt eine Beugung und Interferenz von Licht. Dazu schickt man kohärentes Licht (einfarbiges Licht) durch einen kleinen Spalt und erzeugt ein Interferenzmuster auf einem Schirm.


Das Einzelspaltexperiment

Am Einzelspalt entstehen laut dem Huygensschen Prinzip neue Elementarwellen, welche interferieren. Die Spaltbreite l ist im Vergleich zur Wellenlänge λ sehr groß, sodass jeder Punkt im Spalt als Ausgangspunkt einer Elementarwelle angesehen werden kann.

Spaltbreite

Die Lage der Minima und Maxima wird von der Spaltbreite l und der Wellenlänge λ des Lichts beeinflusst. Der Abstand zum Schirm ist im Verhältnis zur Spaltbreite sehr sehr groß, daher kann man die Strahlen am Spalt zur Konstruktion als parallel betrachten

Man kann also beliebig viele Lichtbündel innerhalb des Spaltes annehmen, die miteinander interferieren. Je höher der Winkel α ist, desto mehr Lichtbündel gibt es.

Die Grafik zeigt zwei gleichgroße Einzelspalte. Beim linken ist der Winkel Alpha so groß, dass zwei Teilbereiche enstehen, die sich gegenseitig auslöschen. Beim rechten Bild ist der Winkel größer sodass drei Teilbereiche enstehen. Zwei löschen sich aus und einer bleibt übrig.

Der Gangunterschied ist die Wegdifferenz zwischen den Wellen, also wie weit sie zueinander versetzt sind.

  • Wird der Spalt in eine gerade Anzahl an Lichtbündel aufgeteilt, löschen sie sich aufgrund des Gangunterschieds von λ/2 gegenseitig aus. Sie interferieren also destruktiv und sind auf dem Schirm als Minimum zu sehen.
  • Wird der Spalt in eine ungerade Anzahl an Lichtbündel aufgeteilt, löschen sich auch hier die Lichtbündel mit dem Gangunterschied λ/2 gegenseitig aus. Jedoch bleibt hier ein Lichtbündel übrig, welches auf dem Schirm als Maximum zu sehen ist.

Voraussetzung für Minima:

Der Gangunterschied zwischen den äußersten Lichtbündeln ist eine Wellenlänge (λ) oder ein Vielfaches einer Wellenlänge. Das k gibt an, welches Minimum wir suchen (wie vielte Ordnung).

\Delta s= k \cdot \lambdaΔs=kλ\Delta s= k \cdot \lambdasin (\alpha) = \frac{k \cdot \lambda}{l}sin(α)=kλlsin (\alpha) = \frac{k \cdot \lambda}{l}

Voraussetzung für Maxima:

Der Gangunterschied zwischen den äußersten Lichtbündeln ist eine halbe Wellenlänge (½ λ) oder ein Vielfaches einer halben Wellenlänge. Das k gibt an, welches Maximum wir suchen (wie vielte Ordnung).

\Delta s = \frac{ \left( 2k +1 \right)} {2} \cdot \lambdaΔs=(2k+1)2λ\Delta s = \frac{ \left( 2k +1 \right)} {2} \cdot \lambdasin (\alpha) = \frac{ \left( 2k + 1 \right) }{2l} \cdot \lambdasin(α)=(2k+1)2lλsin (\alpha) = \frac{ \left( 2k + 1 \right) }{2l} \cdot \lambda

Interferenzmuster am Schirm

Dass das Interferenzmuster nach Außen immer dunkler wird, liegt am Einzelspalt. Je höher der Winkel α ist, desto mehr Lichtbündel gibt es, die sich auslöschen. Das übrigbleibende Lichtbündel wird im Verhältnis immer kleiner und das Maximum immer dunkler.

Die Grafik zeigt ein Interferenzmuster eines Einzelspaltes. Die Lichtpunkte liegen auf einer Linie und haben einen gleichen Abstand voneinander. In der Mitte leuchten sie intensiver und nach Außen hin immer schwächer.

Beispiele

Im Unterricht

Im Physikunterricht leuchtet eure Lehrerin rotes Licht mit der Wellenlänge 700 nm auf einen Einzelspalt mit der Spaltbreite 0,5 mm. Der Schirm, auf dem ein Interferenzmuster zu sehen ist, steht im Abstand von 1,5 m zum Spalt. Nun kannst du deiner Klasse zeigen, wie man den Abstand des Minimums 1. Ordnung zur Mitte berechnen kann.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

B=0,5 \cdot 10^{-3}~\text{m} \\ \lambda = 700 \cdot 10^{-9} ~\text{m} \\ a= 1,5~\text{m} \\ n=1 B=0,5103 mλ=700109 ma=1,5 mn=1B=0,5 \cdot 10^{-3}~\text{m} \\ \lambda = 700 \cdot 10^{-9} ~\text{m} \\ a= 1,5~\text{m} \\ n=1

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

b ~(\text{Minimum 1.Ord.})= \: ?b(Minimum 1.Ord.)=?b ~(\text{Minimum 1.Ord.})= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

sin (\alpha) = \frac{n \cdot \lambda}{B}sin(α)=nλBsin (\alpha) = \frac{n \cdot \lambda}{B}tan (\alpha) = \frac{b}{a}tan(α)=batan (\alpha) = \frac{b}{a}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

\alpha = sin^{-1} \left( \frac{n \cdot \lambda}{B} \right) = sin^{-1} \left( \frac{1 \cdot 700\cdot10^{-9}~\text{m}}{0,5\cdot10^{-3}~\text{m}} \right) \approx 0,08\degreeα=sin1(nλB)=sin1(1700109 m0,5103 m)0,08°\alpha = sin^{-1} \left( \frac{n \cdot \lambda}{B} \right) = sin^{-1} \left( \frac{1 \cdot 700\cdot10^{-9}~\text{m}}{0,5\cdot10^{-3}~\text{m}} \right) \approx 0,08\degreeb= \tan(\alpha)\cdot {a} =\tan(0,08\degree)\cdot{1,5~\text{m}} \approx 2,1\cdot10^{-3 }~\text{m} = 2,1 \text{ mm}b=tan(α)a=tan(0,08°)1,5 m2,1103 m=2,1 mmb= \tan(\alpha)\cdot {a} =\tan(0,08\degree)\cdot{1,5~\text{m}} \approx 2,1\cdot10^{-3 }~\text{m} = 2,1 \text{ mm}

Das Minimum 1. Ordnung befindet sich in einem Abstand von 2,1 mm zur Mitte (also zum Maximum 0. Ordnung).

Spaltbreite

Auf einen Einzelspalt fällt Licht der Wellenlänge 500 nm. Auf einem Schirm, der in 3 m Entfernung steht, haben die beiden Minima 1. Ordnung den Abstand 10 mm. Wie groß ist die Spaltbreite des Einzelspalts?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

a = 3~\text{m} \\ n=1 \\ \lambda = 500 \cdot 10^{-9}~\text{m} \\ b = \frac{10\cdot10^{-3}~\text{m}}{2} a=3 mn=1λ=500109 mb=10103 m2a = 3~\text{m} \\ n=1 \\ \lambda = 500 \cdot 10^{-9}~\text{m} \\ b = \frac{10\cdot10^{-3}~\text{m}}{2}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

B= \: ?B=?B= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

sin (\alpha) = \frac{n \cdot \lambda}{B}sin(α)=nλBsin (\alpha) = \frac{n \cdot \lambda}{B}tan(\alpha)= \frac{b}{a}tan(α)=batan(\alpha)= \frac{b}{a}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

\alpha = tan^{-1} \left(\frac{b}{a} \right) = tan^{-1} \left( \frac{5 \cdot 10^{-3}~\text{m}}{3~\text{m}} \right) \approx 0,1\degreeα=tan1(ba)=tan1(5103 m3 m)0,1°\alpha = tan^{-1} \left(\frac{b}{a} \right) = tan^{-1} \left( \frac{5 \cdot 10^{-3}~\text{m}}{3~\text{m}} \right) \approx 0,1\degreeB = \frac{n \cdot \lambda}{sin (\alpha)} = \frac{1 \cdot 500\cdot10^{-9}~\text{m}}{sin (0,1 \degree)} = 0,29 \cdot 10^{-3}~\text{m}B=nλsin(α)=1500109 msin(0,1°)=0,29103 mB = \frac{n \cdot \lambda}{sin (\alpha)} = \frac{1 \cdot 500\cdot10^{-9}~\text{m}}{sin (0,1 \degree)} = 0,29 \cdot 10^{-3}~\text{m}

Der Spalt ist 0,29 mm breit.

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