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Senkrechter Wurf nach oben

Bei einem senkrechten Wurf nach oben wird ein Gegenstand nach oben geworfen. Dabei wird er durch die Erdbeschleunigung abgebremst, bis er wieder herabfällt.

Erklärung

Beim senkrechten Wurf wird ein Gegenstand senkrecht nach oben geworfen. Er wird dabei durch die Erdbeschleunigung g abgebremst und erreicht deshalb nur eine maximale Höhe. Anschließend fällt er wieder herab, denn er wird durch die Erdbeschleunigung nach unten beschleunigt.

Energieerhaltungssatz beim senkrechten Wurf nach oben

Laut dem Energieerhaltungssatz gilt beim senkrechtem Wurf, dass die Gesamtenergie immer konstant ist. Es gilt:

E_{pot} + E_{kin} = konst.

E_{pot} + E_{kin} = konst.

Energetischer Ablauf

Sei Jans Hand in der Grafik mal das Nullniveau. Den energetischen Ablauf der Energien kannst du in der Animation sehen. Dies kommt wie folgt zustande:

Beim Abwurf ist nur kinetische Energie vorhanden.
Beim Aufsteigen wandelt sich kinetische Energie in potentielle Energie um. Mit zunehmender Höhe steigt die potentielle Energie.
Am höchsten Punkt (= Umkehrpunkt) ist nur noch potentielle Energie vorhanden.
Beim Herabfallen wandelt sich potentielle Energie wieder in kinetische Energie um.
Beim erreichen des Ausgangspunktes ist wieder dieselbe kinetische Energie , wie am Anfang vorhanden.

Geschwindigkeit beim senkrechten Wurf

Da die kinetische Energie am Anfang gleich ist, wie am Ende, gilt:

v_{Anfang} = v_{Ende}

v_{Anfang} = v_{Ende}

Das heißt, wenn man einen Gegenstand senkrecht nach oben wirft, kommt er immer mit der gleichen Geschwindigkeit zurück, mit der er weggeworfen wurde.

Teilbewegungen

Bei einem senkrechten Wurf nach oben handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, da im Normalfall die Erdanziehungskraft nach unten wirkt.

Wir müssen die Bewegungen aufteilen:

Weg nach oben

Bei dem Weg nach oben handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit. Der Ball fliegt mit einer gewissen Geschwindigkeit weg und wird dann durch die Erdanziehung abgebremst.

Weg nach unten

Ab dem Umkehrpunkt fällt der Ball dann einfach nur wieder hinab. Das ist dann einfach nur eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten, wie beim freien Fall. Die Bewegung nach unten hat also keine Anfangsgeschwindigkeit, da die Geschwindigkeit am Umkehrpunkt ja null ist.

Formel

Flughöhe

Um die Wurfhöhe eines senkrechten Wurfs nach oben zu berechnen, kann man eine Formel anwenden, die direkt aus dem Energieerhaltungssatz folgt.

Die kinetische Energie am Anfang entspricht ja der potentiellen Energie am höchsten Punkt:

E_{kin} = E_{pot}

E_{kin} = E_{pot}

\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h

\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h

h = \frac{\frac{1}{2} \cdot v^2}{g}

h = \frac{\frac{1}{2} \cdot v^2}{g}

Flugdauer

Die Flugdauer lässt sich auf zwei Arten berechnen. Wichtig zu wissen ist, dass die Steigzeit nach oben genauso groß ist wie die Fallzeit. Die Gesamtflugdauer lässt sich also entweder aus der zweifachen Steigzeit, oder der zweifachen Fallzeit berechnen. Welche Formel anwendbar ist, hängt von den gegeben Größen ab.

Steigzeit

Für die Steigzeit gilt die folgende Formel:

t_{Steig} = \frac{v_0}{g}

t_{Steig} = \frac{v_0}{g}

Dies folgt direkt aus der Formel der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit.

Fallzeit

Der Weg nach unten ist einfach nur eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Es gilt also:

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

Für die Fallzeit folgt dann:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}

t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}

So lässt sich also die Flugdauer für den Weg nach unten berechnen.

Für die Gesamtflugdauer multipliziert man das Ergebnis dann einfach mit zwei, denn der Weg nach oben dauert immer genauso lang, wie nach unten.

Für die Beschleunigung a wurde hier bereits immer die Erdbeschleunigung g (g = - 9,81 m/s²) eingesetzt. Bei einem senkrechten Wurf der nicht auf der Erde geschieht, müsste in der Formel die Erdbeschleunigung g durch die jeweilige Beschleunigung a ersetzt werden.

Beispiele

Beispiel 1: Spannung berechnen

Jan wirft einen Ball mit 10 m/s senkrecht nach oben. Welche Höhe erreicht der Ball?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

v = 10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

v = 10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

h= \: ?

h= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

E_{kin} = E_{pot}

E_{kin} = E_{pot}

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

Du nutzt hierbei den Energieerhaltungssatz aus. Die kinetische Energie am Anfang muss der potentiellen Energie am Umkehrpunkt entsprechen.

E_{kin} = E_{pot}

E_{kin} = E_{pot}

\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h

\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h

Dies stellst du nach der Höhe um:

h = \frac{\frac{1}{2} \cdot v^2}{g}

h = \frac{\frac{1}{2} \cdot v^2}{g}

Einsetzen bringt die Lösung:

h = \frac{\frac{1}{2} \cdot (10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}

h = \frac{\frac{1}{2} \cdot (10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}

h \approx 5 \text{ m}

h \approx 5 \text{ m}

Der Ball fliegt also 5 m hoch.

Beispiel 1: Spannung berechnen

Wenn Jan einen Ball nach oben wirft, erreicht dieser eine maximale Höhe von 7 m. Wie lange fliegt der Ball, bevor er wieder auf dem Erdboden aufschlägt?

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Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

h = 7 \text{ m}

h = 7 \text{ m}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

t= \: ?

t= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

Du benutzt die Formel für den Weg und ersetzt den Weg s durch die Höhe h, und die Beschleunigung a durch die Erdbeschleunigung g.

h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2

h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2

Dies stellst du um nach der Zeit t:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}

t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}

Durch Einsetzen erhältst du die Lösung:

t = \sqrt{\frac{2\cdot 7 \text{ m}}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}

t = \sqrt{\frac{2\cdot 7 \text{ m}}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}

t \approx 1,2 \text{ s}

t \approx 1,2 \text{ s}

Dies ist aber nur die Zeit für den Flug nach oben.

Die Zeit für den Fall nach unten ist aber exakt die gleiche, da dieselbe Beschleunigung wirkt und der gleiche Weg zurückgelegt werden muss. Somit verdoppeln wir das Ergebnis:

t_{ges} = 2 \cdot 1,2 \text{ s} = 2,4 \text{ s}

t_{ges} = 2 \cdot 1,2 \text{ s} = 2,4 \text{ s}

Der Ball fliegt also 2,4 Sekunden.

Beispiel 1: Spannung berechnen

Eine Pistolenkugel wird mit 100 m/s senkrecht nach oben geschossen. Nach welcher Zeit schlägt sie wieder am Boden auf?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

v = 100 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}\\ g = 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

v = 100 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}\\ g = 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

t= \: ?

t= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

E_{kin} = E_{pot} \\ s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

E_{kin} = E_{pot} \\ s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

Durch Nutzen des Energieerhaltungssatzes kannst du dir zunächst die Höhe berechnen, die die Kugel erreicht.

E_{kin} = E_{pot}

E_{kin} = E_{pot}

\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h

\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h

\frac{\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2}{m \cdot g} = h

\frac{\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2}{m \cdot g} = h

Dies stellst du wieder nach der Höhe um:

h = \frac{\frac{1}{2} \cdot v^2}{g}

h = \frac{\frac{1}{2} \cdot v^2}{g}

und durch Einsetzen erhältst du:

h = \frac{\frac{1}{2} \cdot (100 \:\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}

h = \frac{\frac{1}{2} \cdot (100 \:\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}

h \approx 510 \text{ m}

h \approx 510 \text{ m}

Nun kann man sich die Zeit für den Weg nach oben berechnen über:

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2

Der Weg s entspricht der Höhe h, und die Beschleunigung a entspricht der Erdbeschleunigung g.

Auflösen nach t bringt:

t = \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}

t = \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}

Einsetzen der Werte bringt die Lösung:

t = \sqrt{\frac{2\cdot 509 \text{ m}}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}

t = \sqrt{\frac{2\cdot 509 \text{ m}}{9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}

t \approx 10 \text{ s}

t \approx 10 \text{ s}

Da beim Herabfallen wieder die Erdbeschleunigung wirkt und der gleiche Weg zurückgelegt wird, verdoppeln wir das Ergebnis für die Gesamtzeit.

t_{ges} = 2 \cdot 10 \text{ s}

t_{ges} = 2 \cdot 10 \text{ s}

t_{ges} = 20 \text{ s}

t_{ges} = 20 \text{ s}

Die Gewehrkugel benötigt also 20 s bis sie wieder auf dem Erdboden aufschlägt.

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