Wirkungsgrad

Der Wirkungsgrad beschreibt die Effizienz einer Maschine. Er ist das Verhältnis aus der genutzten Energie und der zugeführten Energie einer Maschine.


Beschreibung des Wirkungsgrades

Eine Maschine, z.B. ein Motor, wandelt Energie von einer Energieform in eine andere Energieform um. Bei der Umwandlung gibt die Maschine im Normalfall aber einen Teil der zugeführten Energie in Form von thermischer Energie an die Umgebung ab. Die von der Maschine genutzte Energie ist deshalb geringer als die zugeführte Energie. Um die Effizienz von verschiedenen Maschinen zu berechnen, benutzt man den Wirkungsgrad.

Berechnung des Wirkungsgrades

Der Wirkungsgrad berechnet sich aus dem Verhältnis zwischen der genutzten Energie und der zugeführten Energie einer Maschine.

\eta = \frac{E_{nutz}}{E_{zu}}η=EnutzEzu\eta = \frac{E_{nutz}}{E_{zu}}

Da die genutzte Energie maximal die zugeführte Energie sein kann, ist der Wirkungsgrad einer Maschine höchstens 1. Dieser Wert ist allerdings auch nur hypothetisch zu erreichen, da in jeder Maschine immer Reibungsverluste entstehen.

Der Wirkungsgrad von realen Maschinen liegt also immer irgendwo zwischen 0 und 1 und ist einheitenlos. Je näher der Wirkungsgrad an 1 liegt, desto effizienter arbeitet die Maschine.

Wirkungsgrad über Leistung

Da die Energie sich direkt proportional zur Leistung verhält, kann man den Wirkungsgrad alternativ auch über die genutzte Leistung und die zugeführte Leistung berechnen.

\eta = \frac{P_{nutz}}{P_{zu}}η=PnutzPzu\eta = \frac{P_{nutz}}{P_{zu}}

Beispiele

Vergleich zweier Wirkungsgrade

Eine Dampfmaschine wandelt die durch die Verbrennung von Kohle gewonnene Energie in kinetische Energie um. Zwei Dampflokomotiven werden auf ihre Effizienz getestet. Die Dampfmaschine in Lokomotive 1 gewinnt aus 35900 J Energie der Kohle genau 20 kJ an kinetischer Energie. Dampflokomotive 2 ist ein wenig kleiner, sie gewinnt aus 29,9 kJ eine kinetische Energie von 15,6 kJ. Welche Dampflokomotive arbeitet effizienter?

Berechnung des Wirkungsgrades von Maschine 1:

\eta_1 = \frac{E_{nutz}}{E_{zu}}η1=EnutzEzu\eta_1 = \frac{E_{nutz}}{E_{zu}}\eta_1 = \frac{20000 \text{ J}}{35900 \text{ J}} \approx 0,557 = 55,7 \%η1=20000 J35900 J0,557=55,7%\eta_1 = \frac{20000 \text{ J}}{35900 \text{ J}} \approx 0,557 = 55,7 \%

Berechnung des Wirkungsgrades von Maschine 2:

\eta_2 = \frac{E_{nutz}}{E_{zu}}η2=EnutzEzu\eta_2 = \frac{E_{nutz}}{E_{zu}}\eta_2 = \frac{15600 \text{ J}}{29900 \text{ J}} \approx 0,522 = 52,2 \%η2=15600 J29900 J0,522=52,2%\eta_2 = \frac{15600 \text{ J}}{29900 \text{ J}} \approx 0,522 = 52,2 \%\text{also gilt:}\: \eta_1 > \eta_2also gilt:η1>η2\text{also gilt:}\: \eta_1 > \eta_2

Dampfmaschine 1 arbeitet also effizienter.

Wirkungsgrad eines Automotors

Der Wirkungsgrad eines Automotors soll berechnet werden. Bei der Verbrennung von Benzin werden im Motor 1900 kJ an Energie freigesetzt. Dies kann der Motor auf das Auto (Masse m = 2000 kg) übertragen, damit das Auto mit einer Geschwindigkeit von 25 m/s fährt.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\begin{aligned} v&=25~\frac{\text{ m}}{\text{ s}} \\ m&=2000 \text{ kg} \\E_{zu}&=1900 \text{ kJ} = 1900000 \text{ J} \end{aligned} v=25 m sm=2000 kgEzu=1900 kJ=1900000 J\begin{aligned} v&=25~\frac{\text{ m}}{\text{ s}} \\ m&=2000 \text{ kg} \\E_{zu}&=1900 \text{ kJ} = 1900000 \text{ J} \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

\eta= \: ?η=?\eta= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

\eta = \frac{E_{nutz}}{E_{zu}}η=EnutzEzu\eta = \frac{E_{nutz}}{E_{zu}}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Über die Masse m und die Geschwindigkeit v des Autos kannst du dir die kinetische Energie berechnen.

\begin{aligned} E_{kin} &= \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \\&= \frac{1}{2} \cdot 2000 \text{ kg} \cdot \left(25 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 \\&\approx 625000~\text{J} = 625 \text{ kJ} \end{aligned}Ekin=12mv2=122000 kg(25ms)2625000 J=625 kJ\begin{aligned} E_{kin} &= \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \\&= \frac{1}{2} \cdot 2000 \text{ kg} \cdot \left(25 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 \\&\approx 625000~\text{J} = 625 \text{ kJ} \end{aligned}

Nun kannst du dir den Wirkungsgrad berechnen:

\eta_1 = \frac{E_{kin}}{E_{zu}}η1=EkinEzu\eta_1 = \frac{E_{kin}}{E_{zu}}\begin{aligned} \eta &= \frac{625000 \text{ J}}{1900000 \text{ J}} \\ \\&\approx 0,33 = 33 \% \end{aligned}η=625000 J1900000 J0,33=33%\begin{aligned} \eta &= \frac{625000 \text{ J}}{1900000 \text{ J}} \\ \\&\approx 0,33 = 33 \% \end{aligned}
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