Drehmoment

Ein Drehmoment gibt an, wie groß die Drehwirkung einer Kraft ist.


Erklärung

In der Animation oben siehst du ein Beispiel für die Entstehung eines Drehmoments.

Der Drehmoment spielt immer bei Rotationen eine wichtige Rolle. Trotz der anderen Einheit, kann man sich den Drehmoment für eine Rotation vorstellen, wie die Kraft für die geradlinigen Bewegung.

Formel

Ein Drehmoment ist definiert über die außen angreifende Kraft, und den Radius, mit dem der Angriffspunkt der Kraft vom Drehpunkt entfernt ist.

M = r \cdot FM=rFM = r \cdot F

dabei ist ...

r = \text{ Hebellänge}r= Hebella¨nger = \text{ Hebellänge}F = \text{wirkende Kraft}F=wirkende KraftF = \text{wirkende Kraft}

Einheit:

[M]=\text{Nm}[M]=Nm[M]=\text{Nm}

Die Hebellänge r wird teilweise auch mit l abgekürzt.

Drehmoment einzeichnen

In der Animation ergibt sich der Drehmoment aus der Kraft, die der Mechaniker auf den Drehmomentschlüssel ausübt, und der Länge dieses Drahmomentsschlüssels.

Die Richtung des Drehmoments ist immer in Richtung der Kraft gerichtet. Wie man den Drehmoment schließlich einzeichnet, kannst du in der Animation oben bei Drehmoment einzeichnen sehen.


Beispiele

Drehmoment am Balken

Jan hängt an einem in der Wand befestigten 2 m langen Balken. Jan hat gut trainiert und wiegt 90 kg.

In welche Richtung wirkt der Drehmoment und wie groß ist dieser?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

r = 2 \text{ m} \\ m_{Jan} = 90 \text{ kg} r=2 mmJan=90 kgr = 2 \text{ m} \\ m_{Jan} = 90 \text{ kg}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

M= \: ?M=?M= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

M = F \cdot rM=FrM = F \cdot r

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Die Richtung des Drehmoments ist kreisförmig in Richtung der Kraft. Diese Kraft ist die Erdanziehungskraft, die auf Jan, und somit auf den Hebel wirkt.

Die Erdanziehungskraft berechnet sich über:

F_g = m_{Jan} \cdot gFg=mJangF_g = m_{Jan} \cdot g

Damit folgt für den Drehmoment:

M = r \cdot m_{Jan} \cdot gM=rmJangM = r \cdot m_{Jan} \cdot gM = 2 \text{ m} \cdot 90 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{ m}}{\text{s}^2}M=2 m90 kg9,81 ms2M = 2 \text{ m} \cdot 90 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{ m}}{\text{s}^2}M = 1765,8 \text{ Nm} \approx 1,7 \text{ kNm}M=1765,8 Nm1,7 kNmM = 1765,8 \text{ Nm} \approx 1,7 \text{ kNm}

Der anliegende Drehmoment an der Wand beträgt also etwa 1,7 kNm.

Wippe

Jan und Janine sitzen auf einer Wippe. Janine wiegt 55 kg und sitzt 3 m von der MItte der Wippe weg. In welcher Entfernung muss Jan (90 kg) von dem Mittelpunkt der Wippe entfernt sitzen, damit die Wippe im Gleichgewicht bleibt?

In der Grafik sitzen Jan und Janine auf der Wippe. Janine in einem Abstand von 3 Metern und Jan in einem Abstand, der mit einem Fragezeichen markiert ist. Zusätzlich sind die Gewichtskräfte auf die beiden Personen eingezeichnet, wobei Jan sein Pfeil länger ist, da er eine höhere Masse hat.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

m_{Jan} = 90 \text{ kg} \\ m_{Janine} = 55 \text{ kg} \\r_{Janine} = 3 \text{ m} mJan=90 kgmJanine=55 kgrJanine=3 mm_{Jan} = 90 \text{ kg} \\ m_{Janine} = 55 \text{ kg} \\r_{Janine} = 3 \text{ m}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

r_{Jan}= \: ?rJan=?r_{Jan}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

M = r \cdot FM=rFM = r \cdot F

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Wenn die Wippe im Gleichgewicht bleiben soll, müssen Janine und Jan den selben Drehmoment auf den Angelpunkt der Wippe ausüben. Da sie auf unterschiedlichen Seiten der Wippe sitzen, wirken die Drehmomente nämlich entgegengesetzt und heben sich deshalb auf.

Es gilt also:

M_{Jan} = M_{Janine}MJan=MJanineM_{Jan} = M_{Janine}r_{Jan} \cdot F_{Jan} = r_{Janine} \cdot F_{Janine}rJanFJan=rJanineFJaniner_{Jan} \cdot F_{Jan} = r_{Janine} \cdot F_{Janine}

Diese Formel lösen wir nach der gesuchten Größe auf.

r_{Jan} = \frac{r_{Janine} \cdot F_{Janine}}{F_{Jan}}rJan=rJanineFJanineFJanr_{Jan} = \frac{r_{Janine} \cdot F_{Janine}}{F_{Jan}}

Die Kraft, die auf die beiden wirkt, ist die Erdanziehungskraft. Die können wir noch kurz berechnen:

F_{Janine} = m_{Janine} \cdot gFJanine=mJaninegF_{Janine} = m_{Janine} \cdot gF_{Jan} = m_{Jan} \cdot gFJan=mJangF_{Jan} = m_{Jan} \cdot g

Eingesetzt in obige Formel ergibt sich dann:

r_{Jan} = \frac{r_{Janine} \cdot m_{Janine} \cdot g}{m_{Jan} \cdot g}rJan=rJaninemJaninegmJangr_{Jan} = \frac{r_{Janine} \cdot m_{Janine} \cdot g}{m_{Jan} \cdot g}r_{Jan} = \frac{3 \text{ m} \cdot 55 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{90 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}rJan=3 m55 kg9,81ms290 kg9,81ms2r_{Jan} = \frac{3 \text{ m} \cdot 55 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{90 \text{ kg} \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}r_{Jan} \approx 1,8 \text{ m}rJan1,8 mr_{Jan} \approx 1,8 \text{ m}

Jan muss also etwa 1,8 m vom Mittelpunkt der Wippe entfernt sitzen.

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