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Energieerhaltungssatz

Du kennst bestimmt Aussagen wie "Energie geht nicht verloren" oder "Energie wird nicht verbraucht sondern nur ungewandelt". Und genau darauf beruht auch der Energieerhaltungssatz.

Aber was genau bedeutet dieser Enegieerhaltungssatz ganz genau? Und was bringt mir der Energieerhaltungssatz überhaupt?

simpleclub erklärt dir, was es mit diesem Energieerhaltungssatz auf sich hat und wofür du ihn gebrauchen kannt.

Energieerhaltungssatz einfach erklärt

Ist in einem abgeschlossenem System (z.B. dem System Erde) eine Gesamtenergie vorhanden, so bleibt diese über die Zeit erhalten. Energie geht nie verloren, sie wird in andere Energieformen umgewandelt.

\rarr $\rarr$ Energie ist deshalb auch eine Erhaltungsgröße, da sie im Laufe von verschiedenen physikalischen Vorgängen immer konstant (also erhalten) bleibt.

Die elektrische Energie, die einer Glühlampe zugeführt wird, wird also vollständig in andere Energieformen umgewandelt (und nicht verbraucht!). Die Glühlampe wandelt beispielsweise die elektrische Energie in Strahllungsenergie (Licht) und thermische Energie (Wärme) um.

Energieerhaltungssatz Definition

Der Energieerhaltungssatz sagt aus, dass in einem abgeschlossenem System die Summe aller Energien stets konstant bleibt.

Energieerhaltungssatz Erklärung

In der folgenden Animation fährt Felix mit seinem Skateboard auf einer Halfpipe. Die Reibung wird hier vernachlässigt:
Er startet von unterschiedlichen Einstiegshöhen:

Niedrigeren Einstiegshöhe
Mittleren Einstiegshöhe
Hohe Einstiegshöhe

Tippe auf die verschiedenen Felix-Schatten!

Egal von welcher Höhe Felix startet, die **Gesamtenergie** bleibt bei jedem Sprung gleich, sodass er auf der anderen Seite der Halfpipe auch wieder auf derselben Höhe landet.

Zu Beginn hat Felix ausschließlich **potentielle Energie** (auch Höhenenergie), denn ganz am Anfang bewegt er sich ja noch nicht.
Beim Hinunterfahren wandelt Felix immer mehr seiner potentiellen Energie in kinetische Energie (auch Bewegungsenergie) um.
Ganz unten hat Felix dann keine potentielle Energie mehr sondern die ganze potentielle Energie wurde in kinetische Energie umgewandelt.
Erst wenn Felix wieder auf der anderen Seite hinaufrollt wandelt er langsam die kinetische Energie wieder in potentielle Energie um.
Auf der anderen Seite am höchsten Punkt angekommen, bewegt Felix sich kurz nicht und hat also ausschließlich potentielle Energie.

\rarr $\rarr$ Zusammen ergeben die beiden Energien immer eine gleich große **Gesamtenergie**, deshalb ist der linke grüne Balken in der Animation immer voll.

Die Aussage des Energieerhaltungssatz ist, dass die Gesamtenergie immer konstant bleibt.

\rarr $\rarr$ Startet Felix von einer höheren Position, hat er zu Beginn mehr potentielle Energie und damit eine höhere Gesamtenergie, die aber immer konstant bleibt.

Hinweis: In dem Skater-Beispiel wird die Reibungsenergie vernachlässigt und davon ausgegangen, dass ausschließlich die potenzielle und kinetische Energie ineinander umgewandelt werden. In der realen Welt würde Felix aber tatsächlich irgendwann zum Stillstand kommen, da immer mehr Energie in thermische Energie (Reibung) umgewandelt wird, die an die Umgebung abgegeben wird.

Verschiedene Energieformen

In der Physik gibt es viele verschiedene Energieformen:

Potentielle Energie
Kinetische Energie
Spannenergie
Thermische Energie (z.B. durch Reibung)
Elektrische Energie
...

Alle diese Energieformen können ineinander umgewandelt werden. Hierbei ist wieder wichtig, dass nach dem Energieerhaltungssatz die Gesamtenergie immer gleich bleibt.

Mathematische Beschreibung des Energieerhaltungssatzes

Die Gesamtenergie eines Systems bleibt immer konstant. Es gilt:

E_{ges} = E_{pot,1} + E_{kin,1} + E_{span,1} + E_{th,1}

E_{ges} = E_{pot,1} + E_{kin,1} + E_{span,1} + E_{th,1}

Nachdem nun Energieumwandlungen stattgefunden haben, besagt der Energieerhaltungssatz, dass die Gesamtenergie immer noch gleich ist. Es haben sich lediglich die Größen der einzelnen Energieformen verändert. Es gilt nun:

E_{ges} = E_{pot,2} + E_{kin,2} + E_{span,2} + E_{th,2}

E_{ges} = E_{pot,2} + E_{kin,2} + E_{span,2} + E_{th,2}

Wird eine Energieform komplett in eine andere Energiefom umgewandelt (bei Vernachlässigung der Reibung), kannst du die beiden Energieformen nach dem **Energieerhaltungssatz** gleichsetzen.

Also zum Beispiel:

Fällt ein Stift von deinem Schreibtisch, wird seine komplette potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt.
\rarr $\rarr$ Das heißt: \col[7]{E_{pot}= E_{kin}} $\col[7]{E_{pot}= E_{kin}}$
Werden ein Pfeil und Bogen aufgespannt und dann losgelassen, wird die komplette Spannenergie in kinetische Energie umgewandelt.
\rarr $\rarr$ Das heißt: \col[7]{E_{span}= E_{kin}} $\col[7]{E_{span}= E_{kin}}$

Thermische Energie (durch Reibung)

Beim Energieerhaltungssatz spielt die thermische Energie eine wichtige Rolle.
\rarr $\rarr$ Jeder Körper mit einer Temperatur besitzt eine solche thermische Energie (Wärmeenergie).

Thermische Energie in Form von Reibung entsteht bei jeder Energieumwandlung. Aus diesem Grund wird sie im Energieerhaltungssatz miteinbezogen, denn sie trägt zur Gesamtenergie des Systems bei.

Hinweis: Bei Rechnungen in der Schule kannst du die thermische Energie (in Form von Reibung) aber so gut wie immer vernachlässigen.

Energieerhaltungssatz Beispiele

Beispiel 1: Spannung berechnen

Jan lässt einen 500 \text{ g} $500 \text{ g}$ schweren Apfel vom 210 \text{ m} $210 \text{ m}$ hohen Fernsehturm in Berlin fallen.

Berechne mithilfe des Energieerhaltunggssatz die Geschwindigkeit v $v$ , mit der der Apfel auf dem Boden aufschlägt. Die Reibung ist zu vernachlässigen.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

\begin{aligned} m &= 0,5 \text{ kg} \\ g &= 9,81\: \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ h &= 210 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} m &= 0,5 \text{ kg} \\ g &= 9,81\: \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ h &= 210 \text{ m} \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

v= \: ?

v= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

\boxed{ E_{pot} = E_{kin} }

\boxed{ E_{pot} = E_{kin} }

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

Durch den **Energieerhaltungssatz** weißt du, dass sich beim freien Fall die komplette potentielle Energie in kinetische Energie umwandelt. Du setzt deshalb also an:

\begin{aligned} \col[7]{E_{kin}} & \col[7]{= E_{pot}} \\ \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 &= m \cdot g \cdot h \end{aligned}

\begin{aligned} \col[7]{E_{kin}} & \col[7]{= E_{pot}} \\ \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 &= m \cdot g \cdot h \end{aligned}

Nun kannst du die Masse m $m$ aus der Gleichung raus kürzen und löst dann nach der Geschwindigkeit v $v$ auf:

\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot \cancel{m} \cdot v^2 &= \cancel{m} \cdot g \cdot h \\ \frac{1}{2} \cdot v^2 &= g \cdot h && \quad \mid \cdot 2\\ v^2 &= 2 \cdot g \cdot h && \quad \mid \sqrt{\square}\\ v &= \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot \cancel{m} \cdot v^2 &= \cancel{m} \cdot g \cdot h \\ \frac{1}{2} \cdot v^2 &= g \cdot h && \quad \mid \cdot 2\\ v^2 &= 2 \cdot g \cdot h && \quad \mid \sqrt{\square}\\ v &= \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \end{aligned}

Und am Ende setzt du nur noch die Werte ein:

v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 210 \text{ m}}

v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 210 \text{ m}}

\begin{aligned} v &= \sqrt{2 \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 210 \text{ m}} \\[1mm] v & \approx \lsg{ 64 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \sqrt{2 \cdot 9,81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 210 \text{ m}} \\[1mm] v & \approx \lsg{ 64 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}} \end{aligned}

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Beispiel 1: Spannung berechnen

Ein 500 \text{ g} $500 \text{ g}$ schwerer Stein wird aus 2 \text{ m} $2 \text{ m}$ Höhe fallen gelassen.

Berechne mithilfe des Energieerhaltungssatz:

Die kinetische Energie vor Herabfallen des Steins
Die kinetische Energie nach 1 \text{ m} $1 \text{ m}$ Fall
Die entstandene thermische Energie beim Aufprall

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

\begin{aligned} h_1 &= 2 \text{ m} \\ m &= 500 \text{ g} &= 0,5 \text{ kg} \\ g & \approx 10~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \end{aligned}

\begin{aligned} h_1 &= 2 \text{ m} \\ m &= 500 \text{ g} &= 0,5 \text{ kg} \\ g & \approx 10~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \end{aligned}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

\begin{aligned} &\text{E}_{kin(2m)} = ? \\ & \text{E}_{kin(1m)} \\ &\text{E}_{th} = ? \end{aligned}= \: ?

\begin{aligned} &\text{E}_{kin(2m)} = ? \\ & \text{E}_{kin(1m)} \\ &\text{E}_{th} = ? \end{aligned}= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

\boxed{ E_{ges} = E_{pot} + E_{kin} + E_{th} }

\boxed{ E_{ges} = E_{pot} + E_{kin} + E_{th} }

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

\fcolorbox{white}{grey}{a)} $\fcolorbox{white}{grey}{a)}$ Zu Beginn (Abwurfhöhe 2 \text{ m} $2 \text{ m}$ ) ist der Stein in Ruhe, er besitzt lediglich eine potentielle Energie.

\begin{aligned} \col[7]{E_{ges}} & \col[7]{= E_{pot,1}} \\ & = m \cdot g \cdot h_1 \\ & = 0,5 \text{ kg} \cdot 10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 2 \text{ m} \\ & = \lsg{ 10 \text{ J}} \end{aligned}

\begin{aligned} \col[7]{E_{ges}} & \col[7]{= E_{pot,1}} \\ & = m \cdot g \cdot h_1 \\ & = 0,5 \text{ kg} \cdot 10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 2 \text{ m} \\ & = \lsg{ 10 \text{ J}} \end{aligned}

\rarr $\rarr$ Am Anfang hat der Stein eine potentielle Energie von 10 \text{ J} $10 \text{ J}$ .

\fcolorbox{white}{grey}{b)} $\fcolorbox{white}{grey}{b)}$ Nach Herabfallen um einen Meter gilt:

Laut Energieerhaltungssatz bleibt die Gesamtenergie erhalten. Da der Stein nun schon um 1 \text{ m} $1 \text{ m}$ gefallen ist, besitzt der Stein natürlich weniger potenzielle Energie als zu Beginn. Er hat also ein Teil seiner potentiellen Energie in kinetische Energie umgewandelt.
DIe Gesamtenergie ergibt sich also aus:

\col[7]{ E_{ges} = E_{pot,2} + E_{kin,1}}

\col[7]{ E_{ges} = E_{pot,2} + E_{kin,1}}

Stellst du diese Gleichung nach der gesuchten kinetischen Energie um, erhältst du:

\begin{aligned} E_{ges} &= E_{pot,2} + E_{kin,1} \\ E_{kin,1} &= E_{ges} - E_{pot,2} \\ & = E_{ges} - m \cdot g \cdot h_2 \end{aligned}

\begin{aligned} E_{ges} &= E_{pot,2} + E_{kin,1} \\ E_{kin,1} &= E_{ges} - E_{pot,2} \\ & = E_{ges} - m \cdot g \cdot h_2 \end{aligned}

Dann musst du nur noch die Werte einsetzen:

\begin{aligned} E_{kin,1} & = E_{ges} - m \cdot g \cdot h_2 \\ &= 10 \text{ J} - 0,5 \text{ kg} \cdot 10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 1 \text{ m} \\ & = \lsg{ 5 \text{ J}} \end{aligned}

\begin{aligned} E_{kin,1} & = E_{ges} - m \cdot g \cdot h_2 \\ &= 10 \text{ J} - 0,5 \text{ kg} \cdot 10 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 1 \text{ m} \\ & = \lsg{ 5 \text{ J}} \end{aligned}

\rarr $\rarr$ Die kinetische Energie in einem Meter Höhe beträgt also 5 \text{ J} $5 \text{ J}$ .

\fcolorbox{white}{grey}{c)} $\fcolorbox{white}{grey}{c)}$ Kurz vor dem Aufschlag hat sich die anfängliche potentielle Energie komplett in kinetische Energie umgewandelt. Wegen dem Energieerhaltungssatz kannst du ansetzen:

E_{kin,2} = E_{pot,1}

E_{kin,2} = E_{pot,1}

E_{kin,2} = 10 \text{ J}

E_{kin,2} = 10 \text{ J}

Nach Aufprall besitzt der Stein weder potentielle noch kinetische Energie. Die Energie wurde komplett in thermische Energie umgewandelt. Nach Energieerhaltungssatz muss also gelten:

E_{ges} = E_{th} = \lsg{ 10 \text{ J}}

E_{ges} = E_{th} = \lsg{ 10 \text{ J}}

\rarr $\rarr$ Es ist eine thermische Energie von 10 \text{ J} $10 \text{ J}$ entstanden.

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