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Der unbelastete Spannungsteiler - Elektrotechnik

Strom- & Spannungsteiler

Der Spannungsteiler ist eine Reihenschaltung aus meist zwei Widerständen. Mit ihm wird eine Spannung in mehrere Teilspannungen aufgeteilt.

Der Stromteiler ist eine Parallelschaltung aus meist zwei Widerständen. Durch ihn wird ein elektrischer Strom in mehrere Teilströme aufgeteilt.

Spannungsteiler

Der Spannungsteiler besteht meist aus einer Reihenschaltung von zwei ohmschen Widerständen. Die Gesamtspannung teilt sich an den Widerständen in zwei Teilspannungen auf. So kann genau die Teilspannung abgegriffen werden, die für die Schaltung benötigt wird. Wenn zum Beispiel eine Spannungsquelle 6V liefert, die Schaltung aber nur auf 5 V ausgelegt ist.

Unbelasteter Spannungsteiler

Die Grafik zeigt einen Schaltplan des unbelastetn Spannungsteilers. Er besteht aus einer Spannungsquelle und zwei Widerständen, die in reihe geschalten sind. An dem zweiten Widerstand geht jeweils vor ihm und nach ihm eine Abzweigung ab.

Bei einem unbelasteten Spannungsteiler ist kein weiterer Widerstand angeschlossen. Durch beide Widerstände fließt derselbe Strom I. Die benötigte Teilspannung kann also mit dem Ohm’schen Gesetz wie folgt berechnet werden:

U_1=(R_1+R_2) \cdot I

U_1=(R_1+R_2) \cdot I

U_2=R_2 \cdot I \rightarrow I=\frac{U_2}{R_2}

U_2=R_2 \cdot I \rightarrow I=\frac{U_2}{R_2}

Einsetzen:

U_1=(R_1+R_2) \cdot \frac{U_2}{R_2}

U_1=(R_1+R_2) \cdot \frac{U_2}{R_2}

Umstellen:

Allgemeine Formel für den unbelasteten Spannungsteiler:

\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1+R_2}{R_2}

\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1+R_2}{R_2}

Belasteter Spannungsteiler

Wird ein Verbraucher parallel zu R2 angeschlossen, entsteht ein belasteter Spannungsteiler. Hier fließt nichtmehr derselbe Strom durch beide Widerstände, da er sich aufteilt in:

I_1 = I_2 + I_L \rightarrow I_1 \neq I_2

I_1 = I_2 + I_L \rightarrow I_1 \neq I_2

Die Grafik zeigt einen Schaltplan des belastetn Spannungsteilers. Er besteht aus einer Spannungsquelle und zwei Widerständen, die in reihe geschalten sind. An dem zweiten Widerstand ist ein weiterer Verbraucher in Reihe geschalten.

Damit auch hier die Formel für den unbelasteten Spannungsteiler gilt, fasst man die zwei parallel geschalteten Widerstände zusammen:

R_{2´} = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2+R_L}

R_{2´} = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2+R_L}

Dann gilt:

\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1+R_2´}{R_2´}

\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1+R_2´}{R_2´}

Stromteiler

Ein Stromteiler besteht meist aus zwei parallel geschalteten ohmschen Widerständen. Während an beiden Widerständen dieselbe Spannung anliegt, teilt sich der Strom auf die beiden Widerstände auf.

I = I_1 + I_2

I = I_1 + I_2

U= U_1 = U_2 \rightarrow R_1 \cdot I_1 = R_2 \cdot I_2 \rightarrow I_2 = I_1 \cdot \frac{R_1}{R_2}

U= U_1 = U_2 \rightarrow R_1 \cdot I_1 = R_2 \cdot I_2 \rightarrow I_2 = I_1 \cdot \frac{R_1}{R_2}

Einsetzen:

I = I_1 + I_1 \cdot \frac{R_1}{R_2}

I = I_1 + I_1 \cdot \frac{R_1}{R_2}

Umstellen:

Allgemeine Formel für den Stromteiler:

\frac{I_1}{I} = \frac{R_2}{R_2+R_1}

\frac{I_1}{I} = \frac{R_2}{R_2+R_1}

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Der Spannungsteiler

Jans Spannungsquelle liefert ihm eine Spannung von 6 V. Der angeschlossene Verbraucher, eine Lampe, hat einen Widerstand von 120 Ohm, ist aber nur auf 5 V ausgelegt. Widerstand R2 beträgt 100 Ohm.
Welchen Widerstand R1 muss Jan in seinem Spannungsteiler verbauen, damit die Lampe nicht kaputt geht?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

U_1 = 6~\text{V} \\ U_2=5~\text{V} \\ R_2 = 100~\Omega \\ R_L=120~\Omega

U_1 = 6~\text{V} \\ U_2=5~\text{V} \\ R_2 = 100~\Omega \\ R_L=120~\Omega

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

R_1= \: ?

R_1= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

R_{2´} = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2+R_L}

R_{2´} = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2+R_L}

\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1+R_{2´}}{R_{2´}}

\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1+R_{2´}}{R_{2´}}

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

R_{2´} = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2+R_L} =\frac{100~\Omega \cdot 120~\Omega}{100~\Omega+120~\Omega} \approx 54,5~\Omega

R_{2´} = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2+R_L} =\frac{100~\Omega \cdot 120~\Omega}{100~\Omega+120~\Omega} \approx 54,5~\Omega

\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1+R_{2´}}{R_{2´}} \rightarrow R_1 = \frac{U_1 \cdot R_{2´}}{U_2} - R_{2´}

\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1+R_{2´}}{R_{2´}} \rightarrow R_1 = \frac{U_1 \cdot R_{2´}}{U_2} - R_{2´}

R_1 = \frac{6~\text{V} \cdot 54,5~\Omega}{5~\text{V}} - 54,5~\Omega = 10,9~\Omega

R_1 = \frac{6~\text{V} \cdot 54,5~\Omega}{5~\text{V}} - 54,5~\Omega = 10,9~\Omega

Jan muss einen Widerstand von 10,9 bzw. 11 Ohm in seinen Spannunsteiler verbauen.

Der Stromteiler

Eine Stromquelle liefert einen Strom von 500 mA. In einem Stromteiler soll ein Strom von 100mA abgeteilt werden. Der Widerstand R2 ist 2 kΩ. Wie groß muss also R1 sein?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben} $\underline \textsf{Gegeben}$

R_2=2~\text{k}\Omega \\ I=500~\text{mA} =0,5~\text{A} \\ I_1=100~\text{mA}=0,1~\text{A}

R_2=2~\text{k}\Omega \\ I=500~\text{mA} =0,5~\text{A} \\ I_1=100~\text{mA}=0,1~\text{A}

\underline \textsf{Gesucht} $\underline \textsf{Gesucht}$

R_1= \: ?

R_1= \: ?

\underline \textsf{Formel} $\underline \textsf{Formel}$

\frac{I_1}{I} = \frac{R_2}{R_2+R_1}

\frac{I_1}{I} = \frac{R_2}{R_2+R_1}

\underline{\textbf{Lösungsweg}} $\underline{\textbf{Lösungsweg}}$

\frac{I_1}{I} = \frac{R_2}{R_2+R_1} \rightarrow R_1= \frac{R_2 \cdot I}{I_1} - R_2

\frac{I_1}{I} = \frac{R_2}{R_2+R_1} \rightarrow R_1= \frac{R_2 \cdot I}{I_1} - R_2

R_1= \frac{2\cdot 10^3~\Omega \cdot 0,5~\text{A}}{0,1~\text{A}} - 2\cdot 10^3~\Omega =8000~\Omega = 8~\text{k}\Omega

R_1= \frac{2\cdot 10^3~\Omega \cdot 0,5~\text{A}}{0,1~\text{A}} - 2\cdot 10^3~\Omega =8000~\Omega = 8~\text{k}\Omega

R1 muss einen Widerstand von 8 kΩ haben.

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