Knoten- & Maschenregel

Knotenregel: In jedem Knotenpunkt eines Stromkreises ist die Summe aller hinfließenden Ströme genauso groß wie die Summe aller abfließenden Ströme.

Maschenregel: Die Spannung der Quelle ist immer genauso groß wie die Summe aller Teilspannungen einer Masche.


Kirchhoffsche Gesetze

1. Gesetz von Kirchhoff: Knotenregel

Die Knoten- und Maschenregel wurden von Gustav Robert Kirchhoff entdeckt, weshalb sie auch Kirchhoffschen Gesetze genannt werden.

Bei vielen Schaltungen ergeben sich Verzweigungspunkte, sogenannte Knotenpunkte. Sie werden durch einen schwarzen Punkt markiert. An einem Knotenpunkt gilt:

Summe aller hinfließenden Ströme = Summe aller abfließenden Ströme

I_{In}=I_{Out}IIn=IOutI_{In}=I_{Out}
Eine Verzweigung von vier Leitern wird gezeigt. Sie bilden ein Kreuz und in der Mitte ist der Knotenpunkt der als Punkt markiert wird. In drei der Leitungen fließen Teilströme zu und addieren sich am Knotenpunkt. In der vierten Leitung fließt der Gesamtstrom ab.
I_1 + I_2 + I_4= I_3I1+I2+I4=I3I_1 + I_2 + I_4= I_3

2. Gesetz von Kirchhoff: Maschenregel

Eine Masche ist ein in sich geschlossener Stromkreis. Oft besteht eine Schaltung aus mehreren Maschen. Für die Maschenregel werden immer die Kernmaschen verwendet. Das sind die kleinsten Maschen, innerhalb derer keine weiteren Maschen mehr liegen. Innerhalb einer Kernmasche gilt:

Alle elektrischen Spannungen in einer Masche addieren sich bei einmaligem Durchlaufen der Masche zu Null!

0= (-U_0)+U_1+U_2+...U_n0=(U0)+U1+U2+...Un0= (-U_0)+U_1+U_2+...U_n

Vorzeichen beachten! Alle Spannungen, die entgegen der Durchlaufrichtung abfallen, haben ein negatives Vorzeichen.

In dieser Schaltung sind 3 Maschen zu finden. Diese sind hier in verschieden Farben markiert. Jede Masche ist ein in sich geschlossener Teil-Stromkreis innerhalb der Schaltung
\text{Masche A:}~(-U_0)+U_1+U_2=0Masche A: (U0)+U1+U2=0\text{Masche A:}~(-U_0)+U_1+U_2=0\text{Masche B:}~(-U_1)+U_3=0Masche B: (U1)+U3=0\text{Masche B:}~(-U_1)+U_3=0\text{Masche C:}~(-U_2)+U_4=0Masche C: (U2)+U4=0\text{Masche C:}~(-U_2)+U_4=0

Beispiel

Schaltung

Es wird eine Schaltung gezeigt in der sowohl Lampen in Reihe als auch parallel geschalten sind. Es sind noch keine Knotenpunkte oder Maschen einzezeichnet.

Knotenregel anwenden

Bei der oben zu sehenden Schaltung werden folgende Daten erfasst:

I_2=0,3~\text{A}; I_3=0,8~\text{A}; I_1=1~\text{A}I2=0,3 A;I3=0,8 A;I1=1 AI_2=0,3~\text{A}; I_3=0,8~\text{A}; I_1=1~\text{A}

Welcher Strom fließt durch den Punkt

I_4 = ?I4=?I_4 = ?

Lösung

I_4 = I_2 + I_3 + I_1 = 0,3~\text{A}+0,8~\text{A}+1~\text{A} = 2,1~\text{A}I4=I2+I3+I1=0,3 A+0,8 A+1 A=2,1 AI_4 = I_2 + I_3 + I_1 = 0,3~\text{A}+0,8~\text{A}+1~\text{A} = 2,1~\text{A}

Maschenregel anwenden

Bei der oben zu sehenden Schaltung werden folgende Daten erfasst:

U_0 =9~\text{V} ;~U_3 =4~\text{V}; ~U_2 =6~\text{V}U0=9 V;U3=4 V;U2=6 VU_0 =9~\text{V} ;~U_3 =4~\text{V}; ~U_2 =6~\text{V}

Welche Spannungen liegen an U1, U4 und U5 an?

Lösung

\text{Masche 1:}~(-U_0) + U_1 = 0Masche 1: (U0)+U1=0\text{Masche 1:}~(-U_0) + U_1 = 0U_1=U_0= 9~\text{V}U1=U0=9 VU_1=U_0= 9~\text{V}\text{Masche 2:}~(-U_1) + U_3 + U_5 = 0Masche 2: (U1)+U3+U5=0\text{Masche 2:}~(-U_1) + U_3 + U_5 = 0U_5=U_1-U_3= 9~\text{V} - 5~\text{V} = 5~\text{V}U5=U1U3=9 V5 V=5 VU_5=U_1-U_3= 9~\text{V} - 5~\text{V} = 5~\text{V}\text{Masche 3:}~U_2 +(- U_3) + U_4 +(-U_5) = 0Masche 3: U2+(U3)+U4+(U5)=0\text{Masche 3:}~U_2 +(- U_3) + U_4 +(-U_5) = 0U_4=U_3+U_5-U_2= 4~\text{V} + 5~\text{V} - 6~\text{V} =3~\text{V}U4=U3+U5U2=4 V+5 V6 V=3 VU_4=U_3+U_5-U_2= 4~\text{V} + 5~\text{V} - 6~\text{V} =3~\text{V}

Maschen finden

Wie viele Maschen kannst du in der Schlatung finden?

Lösung

Es gibt insgesamt 6 Maschen.

Die drei kleinsten Maschen M_1, M_2M1,M2M_1, M_2 und M_3M3M_3 sehen so aus:

Die selbe Schaltung wird nun mit der Lösung der Aufgabe gezeigt. Hier sind alle Knotenpunkte oder Maschen einzezeichnet.

Die benachbarten Maschen kannst du jetzt auch noch zu insgesamt drei größeren kombinieren:

  • M_1+M_2M1+M2M_1+M_2
  • M_2+M_3M2+M3M_2+M_3
  • M_1+M_2+M_3M1+M2+M3M_1+M_2+M_3
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