Boolesche Logik

Die Boolesche Logik bildet die grundlegende theoretische Struktur für Computeroperationen. Dieses Logiksystem arbeitet mit binären Zuständen (0 und 1) sowie einer Menge von Operatoren (UND, ODER, NICHT), um Schaltzustände zu beschreiben.


Erklärung

Die boolesche Logik wurde im 19. Jahrhundert von Herrn George Boole entwickelt und basiert auf binären Werten. Ein jeder dieser Werte steht dabei für einen Zustand:

  • 0 = AUS
  • 1 = EIN

Computer arbeiten mithilfe von Strom. Liegt auf einer Leitung auf der Platine eine Spannung an, so hat diese den Wert 1. Liegt an einer Stelle keine Spannung an, so hat diese den Wert 0.

Da die beiden Werte 0 und 1 nun sehr gut unterschieden werden können und ein Computer mit Spannung/keine Spannung arbeiten kann, werden Daten in der boolschen Logik mit 0 und 1 kodiert. Eine Null steht dabei für „false“, eine Eins für „true“.

Jan in 0en und 1en

Grundlegende Operationen

In der boolesche Logik werden nun diese zwei Zustände (also 0 und 1) verwendet und mit einer Menge von Operationen, welche die Logik enthalten, vereint.

Dabei arbeitet die boolesche Logik in ihren Grundzügen immer mit genau zwei Eingabewerten und einem Ausgabewert. Dabei werden den Eingabewerten Variablennamen zugeordnet, zum Beispiel A und B. Dies Ausgabe erhält ebenfalls einen Variablennamen, meist Y.

NICHT

Die einfachste Operation auf einer Variable ist dabei die NICHT-Operation. Um das Komplement von A dazustellen, wird meistens \overline{A}A\overline{A} verwendet. Es kann jedoch auch \tilde{}A~A\tilde{}A geschrieben werden, allerdings führt diese Darstellung oft zu Problemen in der Übersichtlichkeit.

Die Negation wechselt den Zustand von einer Variablen in ihr Komplement.

Komplement steht in der booleschen Logik für den gegenteiligen Wert eines Wertes. Aus einer 0 wird eine 1, aus einer 1 eine 0.

In der folgenden Wahrheitstabelle sind die Werte von AAA und dem dazugehörigen Komplement \overline{A}A\overline{A} dargestellt:

AAA
\overline{A}A\overline{A}
000
111
111
000

In der booleschen Logik werden Wahrheitstabellen verwendet, um für Kombinationen möglicher Eingaben den Ausgabewert darzustellen. Obige Tabelle enthält dabei nur eine Eingabe AAA und eine Ausgabe \overline{A}A\overline{A}. Wahrheitstabellen im Allgemeinen enthalten jedoch oft eine Vielzahl von Eingabewerten.

UND

Eine weitere grundlegende Operation der booleschen Logik ist die UND-Verknüpfung, oder auch Konjunktion genannt. Diese Operation arbeitet mit zwei Eingabewerten.

Die Darstellung der Konjunktion von zwei Variablen AAA und BBB ist ABABAB, A * BABA * B oder A \cdot BABA \cdot B (meistens wird jedoch die erste Schreibweise verwendet).

Die Ausgabe ist dabei genau dann 1, wenn beide Eingabewerte 1 sind:

AAA
BBB
Y = ABY=ABY = AB
000
000
000
000
111
000
111
000
000
111
111
111

ODER

Neben der UND-Verknüpfung bildet die ODER-Verknüpfung eine weitere grundlegende Operation der booleschen Logik. Sie wird auch Disjunktion genannt.

Die Darstellung der Disjunktion von zwei Variablen AAA und BBB ist A+BA+BA+B.

Die Ausgabe ist dabei 1, wenn mindestens einer der beiden Eingabewerte 1 ist:

AAA
BBB
Y = A+BY=A+BY = A+B
000
000
000
000
111
111
111
000
111
111
111
111

Weitere Regeln der boolschen Logik

Neben den grundlegenden Operationen gibt es noch weitere Rechenregeln in der boolschen Logik. Diese Rechenregeln werden auch Axiome genannt:

\text{Axiom}Axiom\text{Axiom}
\text{Konjunktion}Konjunktion\text{Konjunktion}
\text{Disjunktion}Disjunktion\text{Disjunktion}
\text{Neutralitätsgesetz}Neutralita¨tsgesetz\text{Neutralitätsgesetz}
A \cdot 1=AA1=AA \cdot 1=A
A+0=AA+0=AA+0=A
\text{Extremalgesetz}Extremalgesetz\text{Extremalgesetz}
A \cdot 0 = 0A0=0A \cdot 0 = 0
A + 1 = 1A+1=1A + 1 = 1
\text{Doppelnegationsgesetz (Involution)}Doppelnegationsgesetz (Involution)\text{Doppelnegationsgesetz (Involution)}
\overline{\overline{A}} = AA=A\overline{\overline{A}} = A
\text{Komplementärgesetz}Komplementa¨rgesetz\text{Komplementärgesetz}
A\cdot\overline{A} = 0AA=0A\cdot\overline{A} = 0
A + \overline{A} = 1A+A=1A + \overline{A} = 1
\text{Kommutativgesetz}Kommutativgesetz\text{Kommutativgesetz}
A \cdot B = B \cdot AAB=BAA \cdot B = B \cdot A
A+B = B+AA+B=B+AA+B = B+A
\text{Assoziativgesetz}Assoziativgesetz\text{Assoziativgesetz}
A \cdot (B\cdot C) = (A \cdot B) \cdot CA(BC)=(AB)CA \cdot (B\cdot C) = (A \cdot B) \cdot C
A+(B+C)=(A+B)+CA+(B+C)=(A+B)+CA+(B+C)=(A+B)+C
\text{Distributivgesetz}Distributivgesetz\text{Distributivgesetz}
A(B+C) = AB + ACA(B+C)=AB+ACA(B+C) = AB + AC
A+(BC) = (A+B)(A+C)A+(BC)=(A+B)(A+C)A+(BC) = (A+B)(A+C)
\text{Idempotenzgesetz}Idempotenzgesetz\text{Idempotenzgesetz}
A\cdot A = A AA=AA\cdot A = A
A+A = AA+A=AA+A = A

Einiger dieser Axiome, wie das Kommutativ- oder Distributivgesetz, sind bereits aus der Alltagsmathematik bekannt. Andere wie, wie das Idempotenzgesetz, kommen so nur in der booleschen Algebra vor. Die Axiome werden meist dazu verwendet, um boolesche Ausdrücke wie Y= (AB) + (AC)Y=(AB)+(AC)Y= (AB) + (AC) zu vereinfachen.


Fun-Fact

Um mit der booleschen Logik arbeiten zu können, müssen Werte kodiert werden. Die häufigste Art und Weise ist die Darstellung dieser Werte im Binärsystem. Da die boolesche Logik mit genau diesen beiden Werten (0 und 1) arbeitet, hat eine solche Kodierung einige Vorteile:

  • Wie oben beschrieben arbeiten Computer mit Strom. Spannung liegt an bedeutet 1, keine Spannung bedeutet 0.
  • Zwischen den beiden Zuständen kann relativ leicht unterschieden werden: Entweder es ist Spannung da oder nicht. Der Wert der Spannung muss dabei nicht exakt sein, sondern nur nahe Null oder nahe der Betriebsspannung.
  • Dadurch könnten sogar theoretisch Daten mithilfe der booleschen Logik durch Rauchzeichen übertragen werden. Allerdings würde das für moderene Computer zu lange dauern, die tausende von Operationen pro Sekunde ausführen können.
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