Kondensator in der Schaltung

Kondensatoren finden in zahlreichen Stromkreisen ihren Platz. Man kann sie sowohl parallel als auch in Reihe schalten


Parallelschaltung

Für die Gesamtkapazität in einer Parallelschaltung gilt folgende Formel:

C_{ges} = C_1 + C_2 + C_3 + ...Cges=C1+C2+C3+...C_{ges} = C_1 + C_2 + C_3 + ...

Erklärung

Zu sehen ist der Schaltplan einer Parallelschaltung. Eine Spannungsquelle ist über elektrische Leiter mit zwei Kondensatoren verbunden, die parallel geschalten sind.

In einer Parallelschaltung gilt ja, dass die Spannung überall gleich groß ist:

U_{ges} = U_1 = U_2 = ...Uges=U1=U2=...U_{ges} = U_1 = U_2 = ...

Werden zwei Kondensatoren parallel geschalten, dann passt natürlich auf zwei Kondensatoren nebeneinander mehr Ladung, als auf einen allein:

Q_{ges} = Q_1 + Q_2 + ...Qges=Q1+Q2+...Q_{ges} = Q_1 + Q_2 + ...

Es gilt:

C= \frac{Q}{U} \:\rightarrow \: Q = C \cdot UC=QUQ=CUC= \frac{Q}{U} \:\rightarrow \: Q = C \cdot U

Man kann die Ladung also durch die Kapazität und die Spannung ersetzen:

Q_{ges} = Q_1 + Q_2 + ...Qges=Q1+Q2+...Q_{ges} = Q_1 + Q_2 + ...C_{ges} \cdot U_{ges} = C_1 \cdot U_1 + C_2 \cdot U_2 + ...CgesUges=C1U1+C2U2+...C_{ges} \cdot U_{ges} = C_1 \cdot U_1 + C_2 \cdot U_2 + ...

Wegen der Parallelschaltung sind die Spannungen überall gleich groß:

C_{ges} \cdot U_{ges} = C_1 \cdot U_{ges} + C_2 \cdot U_{ges} + ...CgesUges=C1Uges+C2Uges+...C_{ges} \cdot U_{ges} = C_1 \cdot U_{ges} + C_2 \cdot U_{ges} + ...

Nun kann man U noch kürzen und es bleibt:

C_{ges} = C_1 + C_2Cges=C1+C2C_{ges} = C_1 + C_2

Reihenschaltung

Für die Kapazität von mehreren Kondensatoren, die in Reihe geschaltet werden, gilt:

\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} +...1Cges=1C1+1C2+...\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} +...

Erklärung

Zu sehen ist eine Reihenschaltung. Eine Spannungsquelle ist über elektrische Leiter mit drei hintereinander in Reihe geschaltenen Kondensatoren verbunden.

Die Formel für die Kapazität von Kondensatoren lautet:

C = \frac{Q}{U} \: \rightarrow \: U = \frac{Q}{C}C=QUU=QCC = \frac{Q}{U} \: \rightarrow \: U = \frac{Q}{C}

Für die Ladungen gilt, dass in der Reihenschaltung auf jedem Kondensator die gleiche Ladung sitzt:

Q_{ges} = Q_1 = Q_2 = ....Qges=Q1=Q2=....Q_{ges} = Q_1 = Q_2 = ....

Außerdem teilen sich in einer Reihenschaltung die Spannungen auf:

U_{ges} = U_1 + U_2 + ...Uges=U1+U2+...U_{ges} = U_1 + U_2 + ...

Wenn man man U durch Q/C ersetzt, dann gilt:

\frac{Q_{ges}}{C_{ges}} = \frac{Q_1}{C_1} + \frac{Q_2}{C_2} + ...QgesCges=Q1C1+Q2C2+...\frac{Q_{ges}}{C_{ges}} = \frac{Q_1}{C_1} + \frac{Q_2}{C_2} + ...

Da die Ladung überall gleich ist, gilt:

\frac{Q}{C_{ges}} = \frac{Q}{C_1} = \frac{Q}{C_2} + ...QCges=QC1=QC2+...\frac{Q}{C_{ges}} = \frac{Q}{C_1} = \frac{Q}{C_2} + ...

Nun kann man Q aber auch kürzen und es gilt für die Gesamtkapazität:

\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ...1Cges=1C1+1C2+...\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ...

Strom und Spannung beim Ein- und Ausschalten

Aufladen eines Kondensators

Stromverlauf in der Schaltung

    • Zu Beginn des Ladevorgangs ist der Kondensator leer.
    • Die Spannungsquelle kann also viele Ladungen auf den Kondensator bringen.
    • In der Schaltung fließt deshalb ein großer Strom.
    • Befinden sich nun schon einige Ladungen auf dem Kondensator, dann wird es schwerer, dort noch mehr Ladungen zu platzieren.
    • Der Stromfluss wird also geringer.
    • Mit jeder weiteren Ladung, die auf den Kondensator fließt, wird dieser noch voller.
    • Deshalb sinkt der Strom in der Schaltung exponentiell ab, wie du in obiger Animation sehen kannst.

Spannungsverlauf am Kondensator

Zu sehen ist die Ladekurve des Kondensators. Neben dem Graph für die Stromstärke in der Schaltung sieht man einen zweiten Graphen für den Verlauf der Spannung am Kondensator. Diese steigt zu Beginn recht stark an, die Steigung flacht aber anschließend ab, bis sich der Graph einer Gerade nähert.
  1. Zu Beginn befinden sich keine Ladungen auf den Kondensatorenplatten. Deshalb liegt am Kondensator auch noch keine Spannung an.
  2. Mit zunehmenden Ladungen auf den Kondensatorenplatten steigt auch die Spannung am Kondensator.
  3. Die Spannung am Kondensator ist also maximal, wenn keine Ladungen mehr fließen, der Kondensator also voll geladen ist.

Abschalten eines Kondensators

Stromverlauf in der Schaltung

    • Die Schaltung ist nun kurz geschlossen und die Kondensatorenplatten maximal geladen.
    • Es wird ein Ladungsausgleich angestrebt, weshalb nun viele Ladungen durch die Schaltung fließen.
    • Der Strom ist nun aber negativ, da er in die andere Richtung fließt, als beim Einschalten.
    • Umso weniger Ladungen auf den Platten sitzen, desto weniger Ladungen fließen auch von den Kondensatorenplatten weg. Der Stromfluss wird also geringer.

Spannungsverlauf am Kondensator

Zu sehen ist die Entladekurve des Kondensators. Neben dem Graph für die Stromstärke in der Schaltung sieht man einen zweiten Graphen für den Verlauf der Spannung am Kondensator. Diese befindet sich zunächst auf einem Maximum, sinkt aber schnell ab. Mit zunehmender Zeit sinkt die Spannung immer langsamer ab, bis sie sich nach einer gewissen Zeit der x-Achse von oben hin annähert.
  1. Zu Beginn ist der Kondensator noch voll geladen. Am Kondensator fällt deshalb eine maximale Spannung ab.
  2. Um so weniger Ladungen sich auf dem Kondensator befinden, umso geringer wird auch die Spannung.
  3. Die Spannung am Kondensator fällt auf Null, wenn keine Ladungen mehr auf dem Kondensator vorhanden sind.

Beispiele

Kapazität einer Parallelschaltung

Wie hoch ist die Gesamtkapazität der Schaltung?

Zu sehen ist eine Parallelschaltung. Der Strom einer Spannungsquelle teilt sich in einer Parallelschaltung auf zwei Ströme auf. In dem einen Strom befindet sich ein Kondensator mit zehn Farad, in dem anderen ein Kondensator mit einem Farad. Anschließend werden die Ströme zusammengeführt und fließen wieder zur Spannungsquelle.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

C_1 = 10 \text{ F} \\ C_2 = 1 \text{ F} C1=10 FC2=1 FC_1 = 10 \text{ F} \\ C_2 = 1 \text{ F}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

C_{ges}= \: ?Cges=?C_{ges}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

C_{ges} = C_1 + C_2Cges=C1+C2C_{ges} = C_1 + C_2

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Einsetzen bringt die Lösung:

C_{ges} = 10 \text{ F} + 1 \text{ F}Cges=10 F+1 FC_{ges} = 10 \text{ F} + 1 \text{ F}C_{ges} = 11 \text{ F}Cges=11 FC_{ges} = 11 \text{ F}

Die Gesamtkapazität der Schaltung ist also 11 F.

Gesamtkapazität einer Reihenschaltung

Wie hoch ist die Gesamtkapazität der Schaltung?

Zu sehen ist ein Schaltplan, in dem drei Kondensatoren in Reihe geschalten sind. Der erste Kondensator hat eine Kapazität von zehn Farad, der zweite eine Kapazität von drei Farad und der dritte eine Kapazität von zwei Farad.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

C_1 = 10 \text{ F} \\ C_2 = 5 \text{ F} \\ C_3 = 2 \text{ F} C1=10 FC2=5 FC3=2 FC_1 = 10 \text{ F} \\ C_2 = 5 \text{ F} \\ C_3 = 2 \text{ F}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

C_{ges}= \: ?Cges=?C_{ges}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}1Cges=1C1+1C2+1C3\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Die Formel für die Kapazität der Reihenschaltung stellst du nach der Gesamtkapazität um:

C_{ges} = \frac{1}{\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}}Cges=11C1+1C2+1C3C_{ges} = \frac{1}{\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}}

Einsetzen bringt die Lösung:

C_{ges} = \frac{1}{\frac{1}{10 \text{ F}} + \frac{1}{5 \text{ F}} + \frac{1}{2 \text{ F}}}Cges=1110 F+15 F+12 FC_{ges} = \frac{1}{\frac{1}{10 \text{ F}} + \frac{1}{5 \text{ F}} + \frac{1}{2 \text{ F}}}C_{ges} = 1,25 \text{ F} \approx 1 \text{ F}Cges=1,25 F1 FC_{ges} = 1,25 \text{ F} \approx 1 \text{ F}

Die Gesamtkapazität beträgt also gerundet 1 F.

Gesamtkapazität einer Schaltung

Was ist die Gesamtkapazität der Schaltung?

Zu sehen ist eine Schaltung. Der Strom führt von einer Spannungsquelle weg. Anschließend sind zwei Kondensatoren in Reihe geschalten mit einer Kapazität von C eins gleich fünf Farad und C zwei gleich 10 Farad. Anschließend teilt sich der Strom noch auf eine Parallelschaltung mit jeweils einem Kondensator auf. Diese Kondensatoren haben dann eine Kapazität von  zwei beziehungsweise von drei Farad. Anschließend wird der Strom zusammengeführt und fließt zur Spannungsquelle.

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

C_1 = C1=C_1 =

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

C_{ges}= \: ?Cges=?C_{ges}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}1Cges=1C1+1C2+1C3\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

In der Schaltung sind mehrere Kapazitäten sowohl in Reihe als auch parallel geschalten.

Am besten berechnest du zunächst die Kapazität der Parallelschaltung:

C_{par} = C_3 +C_4Cpar=C3+C4C_{par} = C_3 +C_4C_{par} = 2 \text{ F} + 3 \text{ F}Cpar=2 F+3 FC_{par} = 2 \text{ F} + 3 \text{ F}C_{par} = 5 \text{ F}Cpar=5 FC_{par} = 5 \text{ F}

Die Parallelschaltung behandelst du nun wie einen Kondensator, der mit den anderen Kondensatoren in Reihe geschalten ist.

\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_{par}}1Cges=1C1+1C2+1Cpar\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_{par}}

Umgestellt nach der Gesamtkapazität folgt:

C_{ges} = \frac{1}{\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_{par}}}Cges=11C1+1C2+1CparC_{ges} = \frac{1}{\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_{par}}}C_{ges} = \frac{1}{\frac{1}{5 \text{ F}} + \frac{1}{10 \text{ F}} + \frac{1}{5 \text{ F}}}Cges=115 F+110 F+15 FC_{ges} = \frac{1}{\frac{1}{5 \text{ F}} + \frac{1}{10 \text{ F}} + \frac{1}{5 \text{ F}}}C_{ges} = 2 \text{ F}Cges=2 FC_{ges} = 2 \text{ F}

Insgesamt hat die Schaltung also eine Kapazität von 2 Farad.

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