Spule & Induktivität

Wenn eine Spule in einen Stromkreis integriert wird, so baut sich an der Spule immer ein Magnetfeld auf.


Induktivität

Die Induktivität L gibt einen Zusammenhang zwischen der Spannung in einer Spule und der zeitlichen Ableitung des Stromes, der durch die Spule fließt.

U_{ind}(t) = L \cdot \dot I(t)Uind(t)=LI˙(t)U_{ind}(t) = L \cdot \dot I(t)

Das I(t) mit dem Punkt steht für die Ableitung des Stroms nach der Zeit.

Die Maßeinheit, in der man eine Induktivität angibt, ist Henry (H).

Einheit:

[L]=H[L]=H[L]=H

Regel von Lenz

Die Lenzsche Regel besagt, dass immer, wenn eine Spannung induziert wird, diese so gerichtet ist, dass sie ihrer Ursache entgegen wirkt.

In einer Spule kommt es zur Selbstinduktion. Der induzierte Strom wirkt gemäß der Regel von Lenz dem ursprünglichem Strom entgegen.

Stromverlauf beim Einschalten des Stroms

Das Diagramm zeigt den Verlauf des Stroms nach Schließen des Schalters:

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Wie kommt es zu diesem Verlauf?

  1. Das Magnetfeld ändert sich am Anfang stark.

    • hoher Induktionsstrom wirkt nach der Regel von Lenz dem Strom der Spannungsquelle entgegen

    • Induktionsstrom hebt den Strom der Spannungsquelle auf

    • fast kein Stromfluss fließt durch die Schaltung

  2. Die Magnetfeldänderung wird mit zunehmender Zeit immer geringer.

    • Induktionsstrom wird geringer

    • weniger Induktionsstrom wirkt dem Strom der Spannungsquelle entgegen

    • Gesamtstrom in der Spule nimmt zu

  3. Das Magnetfeld ändert sich nicht mehr.

    • kein Induktionsstrom

    • Gesamtstrom entspricht dem Strom der Spannungsquelle

Stromverlauf beim Ausschalten des Stroms

Das Diagramm zeigt den Verlauf des Stroms in der Schaltung nach Öffnen des Schalters:

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Wie kommt es zu diesem Verlauf?

  1. Magnetfeld ändert sich am Anfang stark, da es komplett zusammen bricht.

    • hoher Induktionsstrom

    • Schalter wurde geöffnet, deshalb kein Strom der Spannungsquelle

    • Der Induktionsstrom entspricht dem Gesamtstrom in der Schaltung

  2. Die Magnetfeldänderung wird immer geringer.

    • Induktionsstrom wird geringer
  3. Magnetfeld ändert sich nicht mehr.

    • kein Induktionsstrom

Reihenschaltung

Da Spulen meist in Reihe in einem Stromkreis gebaut werden, sollte man wissen, was hier für die Stromstärke und die Spannung gilt.:

U_{ges} = U_{Spule} + U_1 + U_2 + ...Uges=USpule+U1+U2+...U_{ges} = U_{Spule} + U_1 + U_2 + ...I_{ges} = I_{Spule} = I_1 = I_2 = ...Iges=ISpule=I1=I2=...I_{ges} = I_{Spule} = I_1 = I_2 = ...

Beispiele

Ableitung der Stromstärke

Eine Spule ist in einem Stromkreis integriert. Das Diagramm zeigt den zeitlichen Verlauf des Stroms in der Schaltung nach Abschalten des Stromes..

Wie hoch ist die Stromstärke in der Schaltung zum Zeitpunkt t = 3 s, sowie die Ableitung der Stromstärke in diesem Punkt?

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Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

I(t) I(t)I(t)

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

I(2 \text{s}) =?\\ \dot I(2 \text{s})= \: ?I(2s)=?I˙(2s)=?I(2 \text{s}) =?\\ \dot I(2 \text{s})= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

\dot I(t) = \frac{\Delta I}{\Delta t}I˙(t)=ΔIΔt\dot I(t) = \frac{\Delta I}{\Delta t}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Das I mit dem Punkt steht für die Ableitung des Stromes nach der Zeit. Und die Ableitung ist ja nichts anderes als die Steigung in einem Punkt. Deshalb kannst du auch schreiben:

\dot I(t) = \frac{\Delta I}{\Delta t}I˙(t)=ΔIΔt\dot I(t) = \frac{\Delta I}{\Delta t}

Aus dem Diagramm kannst du direkt die Stromstärke nach 3 Sekunden ablesen. Sie beträgt:

I(3 \text{ s}) = 2 \text{ mA}I(3 s)=2 mAI(3 \text{ s}) = 2 \text{ mA}
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Du kannst die Steigung und somit die Ableitung in diesem Punkt bestimmen über:

  • Einzeichnen einer Gerade durch dem Punkt t = 3 s.
  • Zwei Punkte der Gerade auswählen.
  • Mithilfe eines Steigungsdreiecks die Steigung bestimmen.
P_1 = (0/5) \\ P_2 = (5/0)P1=(0/5)P2=(5/0)P_1 = (0/5) \\ P_2 = (5/0)m = \frac{y_{P2}- y_{P1}}{x_{P2}-x_{P1}}m=yP2yP1xP2xP1m = \frac{y_{P2}- y_{P1}}{x_{P2}-x_{P1}}m = \frac{5 \text{ mA} - 0 \text{ mA}}{0 \text{ s} - 5{\text{ s}}} = -1 \:\frac{\text{mA}}{\text{s}}m=5 mA0 mA0 s5 s=1mAsm = \frac{5 \text{ mA} - 0 \text{ mA}}{0 \text{ s} - 5{\text{ s}}} = -1 \:\frac{\text{mA}}{\text{s}}

Da die Steigung der gezeichneten Gerade -1 ist, folgt für die Ableitung der Stromstärke:

\dot I(t) = -1 \:\frac{\text{mA}}{\text{s}}I˙(t)=1mAs\dot I(t) = -1 \:\frac{\text{mA}}{\text{s}}

Berechnung des Widerstands einer Lampe

Ein Stromkreis mit einer Lampe und einer Spule wird eingeschaltet.

Folgende Funktion gibt den Strom in Ampere, der durch die Schaltung nach dem Einschalten fließt:

I(t) = \frac{10 - 10 \cdot (e^{-0.5 \cdot t})}{1000}I(t)=1010(e0.5t)1000I(t) = \frac{10 - 10 \cdot (e^{-0.5 \cdot t})}{1000}

Wie hoch ist der Widerstand der Lampe, wenn eine Spannung von 5 V angelegt wurde, und die Spule eine Induktivität von 20 H besitzt?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

U_{ges} = 5 \text{ V} \\ L = 20 \text{ H} Uges=5 VL=20 HU_{ges} = 5 \text{ V} \\ L = 20 \text{ H}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

R_{Lampe}= \: ?RLampe=?R_{Lampe}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

U_{ges} = U_{Spule} + U_{Lampe}Uges=USpule+ULampeU_{ges} = U_{Spule} + U_{Lampe}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Wegen der Reihenschaltung gilt:

U_{ges} = U_{Lampe} + U_{Spule}Uges=ULampe+USpuleU_{ges} = U_{Lampe} + U_{Spule}

Die Spannung an der Lampe lässt sich über das Ohmsche Gesetz berechnen, für die abfallende Spannung an der Spule gilt der Zusammenhang der Induktivität:

U_{ges} = R_{Lampe} \cdot I(t) + L \cdot \dot I(t)Uges=RLampeI(t)+LI˙(t)U_{ges} = R_{Lampe} \cdot I(t) + L \cdot \dot I(t)

Umgestellt nach dem Widerstand der Lampe gibt das:

R_{Lampe} = \frac{U_{ges} - L \cdot \dot I(t)}{I(t)}RLampe=UgesLI˙(t)I(t)R_{Lampe} = \frac{U_{ges} - L \cdot \dot I(t)}{I(t)}

Bestimme nun noch die Stromstärke sowie die Ableitung der Stromstärke für einen beliebigen Zeitpunkt mithilfe der gegebenen Funktion:

I(t) = \frac{10 - 10 \cdot e^{-0.5 \cdot t}}{1000}I(t)=1010e0.5t1000I(t) = \frac{10 - 10 \cdot e^{-0.5 \cdot t}}{1000}\dot I(t) = \frac{5 \cdot e^{-0,5\cdot t}}{1000}I˙(t)=5e0,5t1000\dot I(t) = \frac{5 \cdot e^{-0,5\cdot t}}{1000}

Wähle z.B. für t = 1 s und setze diesen Wert sowohl in die Funktion selbst, als auch in die Ableitung ein:

I(1 \text{ s}) = \frac{10 - 10 \cdot e^{-0.5 \cdot 1 \text{ s}}}{1000}I(1 s)=1010e0.51 s1000I(1 \text{ s}) = \frac{10 - 10 \cdot e^{-0.5 \cdot 1 \text{ s}}}{1000}I(1 \text{ s}) \approx 0,004 \text{ A}I(1 s)0,004 AI(1 \text{ s}) \approx 0,004 \text{ A}\dot I(1 \text{ s}) = \frac{5 \cdot e^{-0,5\cdot 1 \text{ s}}}{1000}I˙(1 s)=5e0,51 s1000\dot I(1 \text{ s}) = \frac{5 \cdot e^{-0,5\cdot 1 \text{ s}}}{1000}\dot I(t) = 0,003 \:\frac{\text{A}}{\text{s}}I˙(t)=0,003As\dot I(t) = 0,003 \:\frac{\text{A}}{\text{s}}

Somit haben wir nun die Stromstärke, sowie deren Ableitung für einen Zeitpunkt bestimmt. Nun musst du nur noch die Werte einsetzen.

R_{Lampe} = \frac{U_{ges} - L \cdot \dot I(t)}{I(t)}RLampe=UgesLI˙(t)I(t)R_{Lampe} = \frac{U_{ges} - L \cdot \dot I(t)}{I(t)}R_{Lampe} = \frac{5 \text{ V} - 20 \text{ H} \cdot 0,003 \:\frac{\text{mA}}{\text{s}}}{0,004 \text{ A}}RLampe=5 V20 H0,003mAs0,004 AR_{Lampe} = \frac{5 \text{ V} - 20 \text{ H} \cdot 0,003 \:\frac{\text{mA}}{\text{s}}}{0,004 \text{ A}}R_{Lampe} = 1235 \:\Omega \approx 1,2 \text{ k}\OmegaRLampe=1235Ω1,2 kΩR_{Lampe} = 1235 \:\Omega \approx 1,2 \text{ k}\Omega

Induktivität einer Spule

Ein Stromkreis, bestehend aus einem in Reihe geschaltenem Widerstand (100 Ohm), einer Spule und einer Spannungsquelle (10 V) wird eingeschaltet.

Das Diagramm zeigt den Stromverlauf für die ersten 10 Sekunden nach Einschalten der Stroms.

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Wie hoch ist die Induktivität der Spule?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

R = 100 \:\Omega \\ U_{ges} = 10 \text{ V} R=100ΩUges=10 VR = 100 \:\Omega \\ U_{ges} = 10 \text{ V}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

L= \: ?L=?L= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

U_{ges} = U_{Spule} + U_{Widerstand}Uges=USpule+UWiderstandU_{ges} = U_{Spule} + U_{Widerstand}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Die angelegte Spannung teilt sich auf die Spule und den Widerstand auf.

Die Spannung am Widerstand lässt sich über das Ohmsche Gesetz berechnen. Für die abfallende Spannung an der Spule gilt der Zusammenhang der Induktivität:

U_{ges} = R_{Widerstand} \cdot I(t) + L \cdot \dot I(t)Uges=RWiderstandI(t)+LI˙(t)U_{ges} = R_{Widerstand} \cdot I(t) + L \cdot \dot I(t)

Nun kannst du die Gleichung nach der Induktivität umstellen:

L = \frac{U_{ges}- R_{Widerstand} \cdot I(t)}{\dot I(t)}L=UgesRWiderstandI(t)I˙(t)L = \frac{U_{ges}- R_{Widerstand} \cdot I(t)}{\dot I(t)}

Die Stromstärke, sowie deren Ableitung kannst du aus dem Diagramm mithilfe einer Gerade bestimmen.

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Hier wurde der Punkt (3/7) gewählt:

I(3 \text{ s}) = 7 \text{ mA}I(3 s)=7 mAI(3 \text{ s}) = 7 \text{ mA}

Die Ableitung ist nichts anderes als die Steigung in einem Punkt. Diese bestimmt man über:

  • Einzeichnen einer Gerade durch dem Punkt t = 3 s.
  • Zwei Punkte der Gerade auswählen.
  • Mithilfe eines Steigungsdreiecks die Steigung bestimmen.
P_1 = (3/7) \\ P_2 = (0/3,5)P1=(3/7)P2=(0/3,5)P_1 = (3/7) \\ P_2 = (0/3,5)m = \frac{y_{P2}- y_{P1}}{x_{P2}-x_{P1}}m=yP2yP1xP2xP1m = \frac{y_{P2}- y_{P1}}{x_{P2}-x_{P1}}m = \frac{7 \text{ mA} - 3,5 \text{ mA}}{3 \text{ s} - 0{\text{ s}}} \approx 1,2 \:\frac{\text{mA}}{\text{s}} = 0,0012 \:\frac{\text{A}}{\text{s}}m=7 mA3,5 mA3 s0 s1,2mAs=0,0012Asm = \frac{7 \text{ mA} - 3,5 \text{ mA}}{3 \text{ s} - 0{\text{ s}}} \approx 1,2 \:\frac{\text{mA}}{\text{s}} = 0,0012 \:\frac{\text{A}}{\text{s}}

Nun kannst du alles einsetzen:

L = \frac{U_{ges}- R_{Lampe} \cdot I(t)}{\dot I(t)}L=UgesRLampeI(t)I˙(t)L = \frac{U_{ges}- R_{Lampe} \cdot I(t)}{\dot I(t)}L = \frac{10 \text{ V} + 100 \:\Omega \cdot 0,007 \text{ A}}{0,0012 \:\frac{\text{A}}{\text{s}}}L=10 V+100Ω0,007 A0,0012AsL = \frac{10 \text{ V} + 100 \:\Omega \cdot 0,007 \text{ A}}{0,0012 \:\frac{\text{A}}{\text{s}}}L \approx 8917 \text{ H} \approx 8,9 \text{ kH}L8917 H8,9 kHL \approx 8917 \text{ H} \approx 8,9 \text{ kH}

Die Induktivität der Spule beträgt also 8,9 Kilohenry.

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