Induktivität & Permeabilität

Die Induktivität ist eine charakteristische Beschreibung der elektrischen EIgenschaften einer Spulen.

Die Permeabilität ist ein Maß für die Magnetisierbarkeit von Materialien.


Induktivität

Die Induktivität L gibt einen Zusammenhang zwischen der Spannung in einer Spule und der zeitlichen Ableitung des Stromes, der durch die Spule fließt.

U_{ind}(t) = L \cdot \dot I(t)Uind(t)=LI˙(t)U_{ind}(t) = L \cdot \dot I(t)

Das I(t) mit dem Punkt steht für die Ableitung des Stroms nach der Zeit.

Die Maßeinheit, in der man eine Induktivität angibt, ist Henry (H).

Einheit:

[L]=H[L]=H[L]=H

Permeabilität

Erklärung

Der Stoff, der sich in einem Magnetfeld befindet, bestimmt auch über die Stärke des Magnetischen Feldes. Das Magnetfeld kann durch einen Stoff

  • verkleinert (Blei)
  • unverändert (Vakuum)
  • vergrößert (Eisen)

werden.

Permeabilitätszahl

Die magnetische Feldkonstante gibt die Permeabilität des Vakuums an.

= \mu_{0}=μ0= \mu_{0}

Die Permeabilitätszahl ist definiert als die Permeabilität eines Stoffes geteilt durch die magnetische Feldkonstante.

\mu_{r} = \frac{\mu}{\mu_0}μr=μμ0\mu_{r} = \frac{\mu}{\mu_0}

Stellt man die Formel für die Permeabilitätszahl nach der Permeabilität eines Stoffes um, so sieht man:

\mu = \mu_0 \cdot \mu_rμ=μ0μr\mu = \mu_0 \cdot \mu_r

Ist also die Permeabilitätszahl von Eisen gleich 300, so weiß man, die Permeabilität von Eisen ist also 300 mal höher, als die des Vakuums.

Die Tabelle zeigt ein paar Permeabilitätszahlen von verschiedenen Materalien.

Stoff

Permeabilitätszahl

Blei

<1 \:(\approx 0,999)<1(0,999)<1 \:(\approx 0,999)

Vakuum

111

Wasserstoff

1 + 8 \cdot 10^{-9}1+81091 + 8 \cdot 10^{-9}

Luft

1 + 1 \cdot 10^{-6}1+11061 + 1 \cdot 10^{-6}

Eisen

300 \text{ bis } 10000300 bis 10000300 \text{ bis } 10000

Spulen

Stromdurchflossene Spulen bauen immer ein Magnetfeld auf. Um das Magnetfeld einer Spule bei bestimmten Anwendungen zu erhöhen, nutzt man z.B. die hohe Permeabilität von Eisen.

Formel

Die Induktivität ist eine charakterisierende Größe einer Spule. Sie lässt sich auch aus konstanten Größen berechnen.

L = n^2 \cdot \mu_0 \cdot \mu_{r} \cdot \frac{A}{l}L=n2μ0μrAlL = n^2 \cdot \mu_0 \cdot \mu_{r} \cdot \frac{A}{l}

n = Windungszahl der Spule

A = Querschnittsfläche der Spule

l = Länge der Spule

Einheit:

[L]=H[L]=H[L]=H

Beispiele

Induktivität einer Spule

Die Permeabilitätszahl einen Eisenkerns beträgt 300. Wie hoch ist die Induktivität einer 30 cm langen mit diesem Eisenkern versehenen Spule mit 200 Windungen und einem Durchmesser von 10 cm?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\mu_r = 300 \\ \mu_0 = 1,26 \cdot 10^6 \frac{\text{N}}{\text{A}^2} \\ n = 200 \\ l = 30 \text{ cm} = 0,3 \text{ m} \\ r = 5 \text{ cm} = 0,05 \text{ m} μr=300μ0=1,26106NA2n=200l=30 cm=0,3 mr=5 cm=0,05 m\mu_r = 300 \\ \mu_0 = 1,26 \cdot 10^6 \frac{\text{N}}{\text{A}^2} \\ n = 200 \\ l = 30 \text{ cm} = 0,3 \text{ m} \\ r = 5 \text{ cm} = 0,05 \text{ m}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

L= \: ?L=?L= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

L = n^2 \cdot \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{A}{l}L=n2μ0μrAlL = n^2 \cdot \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{A}{l}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Wir berechnen zunächst die Querschnittsfläche der Spule:

A = r^2 \cdot \piA=r2πA = r^2 \cdot \piA = (0,05 \text{ m})^2 \cdot \piA=(0,05 m)2πA = (0,05 \text{ m})^2 \cdot \pi

Anschließend brauchen wir die Werte nur noch in die Formel für die Induktivität einer Spule einsetzen und erhalten:

L = n^2 \cdot \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{A}{l}L=n2μ0μrAlL = n^2 \cdot \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{A}{l}L = 200^2 \cdot \mu_0 \cdot 300 \cdot \frac{(0,05 \text{ m})^2 \cdot \pi}{0,3 \text{ m}}L=2002μ0300(0,05 m)2π0,3 mL = 200^2 \cdot \mu_0 \cdot 300 \cdot \frac{(0,05 \text{ m})^2 \cdot \pi}{0,3 \text{ m}}L = 0,4 \text{ H}L=0,4 HL = 0,4 \text{ H}

Induktionsspannung an einer Spule

Eine Spule mit der Induktivität L (L = 2 H) wird in einen Stromkreis integriert. Wie groß ist die an der Spule abfallende Spannung, wenn sich die Stromstärke innerhalb einer Sekunde um 0,5 Ampere ändert?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

L = 2 \text{ H} \\ \Delta I = 0,5 \text{ A} \\ \Delta t = 1 \text{ s} L=2 HΔI=0,5 AΔt=1 sL = 2 \text{ H} \\ \Delta I = 0,5 \text{ A} \\ \Delta t = 1 \text{ s}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

U_{ind}= \: ?Uind=?U_{ind}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

U_{ind} (t) = L \cdot \dot I(t)Uind(t)=LI˙(t)U_{ind} (t) = L \cdot \dot I(t)

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Über die Änderung der Stomstärke und die Änderung der Zeit kannst du über folgenden Zusammenhang die Ableitung der Stromstärke bestimmen:

\dot I(t) = \frac{\Delta I}{\Delta t}I˙(t)=ΔIΔt\dot I(t) = \frac{\Delta I}{\Delta t}\dot I(t) = \frac{0,5 \text{ A}}{1 \text{ s}}I˙(t)=0,5 A1 s\dot I(t) = \frac{0,5 \text{ A}}{1 \text{ s}}

Das setzt du in die Formel für die Induktionsspannung ein und erhälst:

U_{ind} = 2 \text{ H} \cdot \frac{0,5 \text{ A}}{1 \text{ s}}Uind=2 H0,5 A1 sU_{ind} = 2 \text{ H} \cdot \frac{0,5 \text{ A}}{1 \text{ s}}U_{ind} = 1 \text{ V}Uind=1 VU_{ind} = 1 \text{ V}

Nach einer Sekunde fällt an der Spule also eine Induktionsspannung von 1 Volt ab.

Teste dein Wissen

a) Die magnetische Feldkonstante gibt die Permeabilität ... an?

  1. der Luft
  2. des Vakuum
  3. von Holz

b) Was bedeutet eine Permeabilitätszahl von 800?

  1. Die Permeabilität des Stoffes ist 800 mal größer als die Permeabilität des Vakuum.
  2. Die Permeabilität des Stoffes ist 800 mal kleiner als die Permeabilität der Luft.
  3. Die Permeabilität des Stoffes ist 800 mal größer als die Permeabilität der Luft..

c) Was passiert, wenn man einen Eisenkern in eine stromdurchfolssene Spule schiebt?

  1. Aufgrund des Eisenkerns wird der Stromfluss in der Spule gestört und es kommt zu einem Kurzschluss.
  2. Das Magnetfeld der Spule wird verstärkt.
  3. Nichts passiert.

Lösung

a) Die magnetische Feldkonstante gibt die Permeabilität des Vakuum an.

b) Die Permeabilitätszahl gibt an, um welchen Faktor die Permeabilität größer ist, als die des Vakuum. Eine Permeabilitätszahl von 300 bedeutet also eine 300 mal höhere Permeabilität im Vergleich zum Vakuum.

c) Ein Eisenkern besitzt eine viel höhere Permeabilität im Vergleich zum Vakuum. Deshalb wird das Magnetfeld der Spule verstärkt, wie du anhand der Animation siehst.

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