Allgemeines Induktionsgesetz

Das allgemeine Induktionsgesetz führt die Induktion durch Flächenänderung und die Induktion durch Magnetfeldänderung zusammen.


Erläuterung

Induktion kann auf zwei verschiedene Weisen entstehen:

  • Induktion durch Flächenänderung
  • Induktion durch Magnetfeldänderung

Der Zusammhang, wenn sich sowohl Fläche und Magnetfeld ändern, wird durch das allgemeine Induktionsgesetz beschrieben.

Formel

Das allgemeine Induktionsgesetz lautet:

U_{ind} = - n \cdot \dot\PhiUind=nΦ˙U_{ind} = - n \cdot \dot\Phi

Zur Erinnerung: Das ϕ mit dem Punkt steht für die zeitliche Ableitung vom magnetischen Fluss ϕ.

Einheit:

[U_{ind}]=\text{V}[Uind]=V[U_{ind}]=\text{V}

Erläuterung

Für den magnetischen Fluss gilt:

\Phi = A \cdot BΦ=AB\Phi = A \cdot B

Das allgemeine Induktionsgesetz kann also umgeschrieben werden:

U_{ind} = - n \cdot \dot\PhiUind=nΦ˙U_{ind} = - n \cdot \dot\PhiU_{ind} = - n \cdot \dot{(A\cdot B)}Uind=n(AB)˙U_{ind} = - n \cdot \dot{(A\cdot B)}

Die Klammer leiten wir nun nach der Produktregel ab:

U_{ind} = - n \cdot (\dot A \cdot B + A \cdot \dot B)Uind=n(A˙B+AB˙)U_{ind} = - n \cdot (\dot A \cdot B + A \cdot \dot B)U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \dot A) + (-n \cdot A \cdot \dot B)Uind=(nBA˙)+(nAB˙)U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \dot A) + (-n \cdot A \cdot \dot B)

Man schreibt nun die Ableitungen als Änderungen nach der Zeit und erhält:

U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + ( -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})Uind=(nBΔAΔt)+(nAΔBΔt)U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + ( -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})

Das allgemeine Induktionsgesetz beschreibt also die Induktionsspannung, wenn sich sowohl Fläche als auch Magnetfeld ändern.

Schlussendlich wird nur die Formel der Flächenänderung mit der der Magnetfeldänderung addiert.


Beispiele

Weder Flächenänderung noch Magnetfeldänderung

Ist bei einem Vorgang sowohl die Flächenänderung als auch die Magnetfeldänderung 0, so dürfte keine Spannung induziert werden.

Dies sollte das allgemeine Induktionsgesetz bestätigen:

U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + ( -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})Uind=(nBΔAΔt)+(nAΔBΔt)U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + ( -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})

Es gilt:

\frac{\Delta A}{\Delta t} = 0 \\ \frac{\Delta B}{\Delta t} = 0ΔAΔt=0ΔBΔt=0\frac{\Delta A}{\Delta t} = 0 \\ \frac{\Delta B}{\Delta t} = 0

Also gilt nach dem allgemeinen Induktionsgesetz:

U_{ind} = (-n \cdot B \cdot 0) + (-n \cdot A \cdot 0)Uind=(nB0)+(nA0)U_{ind} = (-n \cdot B \cdot 0) + (-n \cdot A \cdot 0)U_{ind} = 0Uind=0U_{ind} = 0

Das allgemeine Induktionsgesetz bestätigt die Annahme.

Keine Magnetfeldänderung

Ist die Magnetfeldänderung bei einem Vorgang gleich 0, so gilt für das allgemeine Induktionsgesetz:

U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + (-n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})Uind=(nBΔAΔt)+(nAΔBΔt)U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + (-n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})\implies U_{ind} = -n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t} + 0Uind=nBΔAΔt+0\implies U_{ind} = -n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t} + 0\implies U_{ind} = -n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}Uind=nBΔAΔt\implies U_{ind} = -n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}

Und dies entspricht der Formel, für die induzierte Spannung durch Flächenänderung.

Keine Flächenänderung

Ist die Flächenänderung bei einem Vorgang gleich 0, so gilt für das allgemeine Induktionsgesetz:

U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + (-n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})Uind=(nBΔAΔt)+(nAΔBΔt)U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + (-n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})\implies U_{ind} = 0+ (-n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})Uind=0+(nAΔBΔt)\implies U_{ind} = 0+ (-n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})\implies U_{ind} = -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}Uind=nAΔBΔt\implies U_{ind} = -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}

Und dies entspricht der Formel, für die induzierte Spannung durch Magnetfeldänderung.

Berechnung des magnetischen Flusses

Eine senkrecht zum Magnetfeld stehende Leiterschleife (A = 200 cm²) befindet sich komplett außerhalb eines Magnetfeldes (0,5 T) und wird innerhalb von 3 Sekunden vollständig in das Magnetfeld gebracht. Anschließend wird das Magnetfeld innerhalb von 2 Sekunden von 0,5 auf 1,5 Tesla hochgedreht. Wann ist die Induktionsspannung am höchsten?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

\Delta t_1 = 3 \text{ s}\\ \Delta t_2 = 2 \text{ s} \\ A = 200 \text{ cm}^2 = 0,02 \text{ m}^2 \\ B_1 = 0,5 \text{ T} \\ B_2 = 1,5 \text{ T} Δt1=3 sΔt2=2 sA=200 cm2=0,02 m2B1=0,5 TB2=1,5 T\Delta t_1 = 3 \text{ s}\\ \Delta t_2 = 2 \text{ s} \\ A = 200 \text{ cm}^2 = 0,02 \text{ m}^2 \\ B_1 = 0,5 \text{ T} \\ B_2 = 1,5 \text{ T}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

U_{ind}= \: ?Uind=?U_{ind}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

U_{ind} = -n \cdot \dot\PhiUind=nΦ˙U_{ind} = -n \cdot \dot\Phi

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

U_{ind} = -n \cdot \dot\PhiUind=nΦ˙U_{ind} = -n \cdot \dot\Phi

Analog zu oben leitest du ϕ nach der Zeit ab:

U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + ( -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})Uind=(nBΔAΔt)+(nAΔBΔt)U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + ( -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})

Nun teilen wir den Vorgang in zwei Teilvorgänge auf:

Da es sich nur um eine Leiterschleife handelt, ist die Anzahl an Windungen natürlich 1.

Für Vorgang 1 haben wir keine Magnetfeldänderung, also gilt:

U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + ( -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})Uind=(nBΔAΔt)+(nAΔBΔt)U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + ( -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})U_{ind} = (-1 \cdot 0,5 \text{ T} \cdot \frac{\Delta 0,02 \text{ m}^2}{\Delta 3 \text{ s}}) + 0Uind=(10,5 TΔ0,02 m2Δ3 s)+0U_{ind} = (-1 \cdot 0,5 \text{ T} \cdot \frac{\Delta 0,02 \text{ m}^2}{\Delta 3 \text{ s}}) + 0U_{ind} = -\:\frac{1}{300} \text{ V} \approx -0,0033 \text{ V} = - 3,3 \text{ mV}Uind=1300 V0,0033 V=3,3 mVU_{ind} = -\:\frac{1}{300} \text{ V} \approx -0,0033 \text{ V} = - 3,3 \text{ mV}

Für Vorgang 2 gibt es keine Flächenänderung, aber eine Magnetfeldänderung. Diese Magnetfeldänderung ist \Delta B = 1,5 \text{ T}-0,5 \text{ T} = 1 \text{ T}ΔB=1,5 T0,5 T=1 T\Delta B = 1,5 \text{ T}-0,5 \text{ T} = 1 \text{ T}.

Damit gilt:

U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + ( -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})Uind=(nBΔAΔt)+(nAΔBΔt)U_{ind} = (-n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}) + ( -n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t})U_{ind} = 0 + ( -1 \cdot 0,02 \text{ m}^2 \cdot \frac{\Delta 1 \text{ T}}{\Delta 2 \text{ s}})Uind=0+(10,02 m2Δ1 TΔ2 s)U_{ind} = 0 + ( -1 \cdot 0,02 \text{ m}^2 \cdot \frac{\Delta 1 \text{ T}}{\Delta 2 \text{ s}})U_{ind} = - \frac{1}{100} \text{ V} = -10 \text{ mV}Uind=1100 V=10 mVU_{ind} = - \frac{1}{100} \text{ V} = -10 \text{ mV}

Die beiden Minus geben nur die Richtung der Spannung an, haben aber keinen Einfluss auf den Betrag der Induktionsspannung.

3,3 \text{ mV} < 10 \text{ mV}3,3 mV<10 mV3,3 \text{ mV} < 10 \text{ mV}

Die Induktionsspannung ist also während des gesamten zweiten Vorgangs höher, als beim ersten Vorgang.

Das Diagramm zeigt den Verlauf der Induktionsspannung. Hierbei wird nur der Betrag der Induktionsspannung abgebildet, nicht aber das negative Vorzeichen.

Das Diagramm zeigt den Betrag der Induktionsspannung. Von o bis 3 Sekunden läuft der Graph bei 3,3 mV, von 3 bis 5 Sekunden bei 10 mV und fällt anschließend auf 0 mV ab.
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