Induktion durch Änderung des Magnetfeldes

Durch eine Änderung des Magnetfeldes wird in einer Leiterschleife eine Spannung induziert.

Die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche der Spule bleibt dabei konstant.


Erläuterung

Wird eine Leiterschleife von einem Magnetfeld durchsetzt, so kann man durch Verstärkung oder Schwächung des Magnetfeldes in der Leiterschleife eine Spannung induzieren.

Formel

Die induzierte Spannung, die entsteht, wenn sich das eine Leiterspule durchsetzende Magnetfeld ändert, lässt sich berechnen über:

U_{ind} = n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}Uind=nAΔBΔtU_{ind} = n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}

Dabei bezeichnet n die Windungszahl der Leiterschleife.

A ist die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche der Spule.

ΔB/Δt ist die Änderung des Magnetfeldes pro Zeit.

Einheit:

[U_{ind}] = \text{V}[Uind]=V[U_{ind}] = \text{V}

Teilweise findet man die Formel auch mit einem Minus vor dem n. Allerdings gibt dies nur die Richtung der Spannung an, ändert aber nicht den Betrag und wird deshalb häufig weggelassen.


Beispiele

Berechnung der induzierten Spannung

Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen

Das Diagramm zeigt die Änderung eines Magnetfeldes über die Zeit, welches eine Leiterschleife mit 10 Windungen durchsetzt. Die Leiterschleife ist 10 cm lang und 20 cm breit. Welche Spannung wird induziert, wenn die gesamte Spule von dem Magnetfeld durchsetzt wird?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

n = 10\\ l = 10 \text{ cm} = 0,1 \text{ m}\\ b = 20 \text{ cm} = 0,2 \text{ m} n=10l=10 cm=0,1 mb=20 cm=0,2 mn = 10\\ l = 10 \text{ cm} = 0,1 \text{ m}\\ b = 20 \text{ cm} = 0,2 \text{ m}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

U_{ind}= \: ?Uind=?U_{ind}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

U_{ind} = n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}Uind=nAΔBΔtU_{ind} = n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Berechne dir zunächst die Fläche der Leiterschleife:

A = l \cdot bA=lbA = l \cdot bA = 0,1 \text{ m} \cdot 0,2 \text{ m}A=0,1 m0,2 mA = 0,1 \text{ m} \cdot 0,2 \text{ m}A = 0,02 \text{ m}^2A=0,02 m2A = 0,02 \text{ m}^2

Aus dem gegebenen Diagramm kannst du die Änderung des Magnetfeldes bestimmen. Zum Beispiel ändert sich in 5 Sekunden das Magnetfeld um 5 Tesla. Du könntest aber auch 3 Sekunden und 3 Tesla einsetzen, das Ergebnis wäre trotzdem gleich.

Also:

\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{5 \text{ T}}{5 \text{ s}}ΔBΔt=5 T5 s\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{5 \text{ T}}{5 \text{ s}}

Das setzt du nun in die Formel für die induzierte Spannung ein:

U_{ind} = n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}Uind=nAΔBΔtU_{ind} = n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}U_{ind} = 10 \cdot 0,02 \text{ m} \cdot \frac{5 \text{ T}}{5\text{ s}}Uind=100,02 m5 T5 sU_{ind} = 10 \cdot 0,02 \text{ m} \cdot \frac{5 \text{ T}}{5\text{ s}}U_{ind} = 0,2 \text{ V}Uind=0,2 VU_{ind} = 0,2 \text{ V}

An der Leiterschleife entsteht also eine Spannung von 0,2 V.

Änderung des Magnetfeldes

Eine Leiterschleife (n = 3; A = 0,5 m²) wird vollständig von einem Magnetfeld durchsetzt. Wie stark muss die Änderung des Magnetfeldes sein, damit eine Spannung von 1 V induziert wird?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

n = 3 \\A = 0,5 \text{ m}^2\\ U_{ind} = 1\text{ V} n=3A=0,5 m2Uind=1 Vn = 3 \\A = 0,5 \text{ m}^2\\ U_{ind} = 1\text{ V}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

\frac{\Delta B}{\Delta t}= \: ?ΔBΔt=?\frac{\Delta B}{\Delta t}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

U_{ind} = n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}Uind=nAΔBΔtU_{ind} = n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Du musst zunächst die Gleichung umstellen:

U_{ind} = n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}Uind=nAΔBΔtU_{ind} = n \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{ U_{ind}}{ n \cdot A}ΔBΔt=UindnA\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{ U_{ind}}{ n \cdot A}

Einsetzen bringt:

\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{1 \text{ V}}{3\cdot 0,5 \text{ m}^2}ΔBΔt=1 V30,5 m2\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{1 \text{ V}}{3\cdot 0,5 \text{ m}^2}\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{2 \text{ T}}{3 \text{ s}}ΔBΔt=2 T3 s\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{2 \text{ T}}{3 \text{ s}}

Das Magnetfeld muss sich also in 3 Sekunden um 2 Tesla verstärken oder um 2 Tesla schwächen.

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