Induktion durch Änderung der Fläche

Wenn sich die Fläche einer Leiterschleife, die von einem Magnetfeld durchsetzt wird, ändert, so wird eine Spannung induziert. Das Magnetfeld bleibt dabei konstant.


Veranschaulichung

Formel

Die entstandene induzierte Spannung, wenn sich die von einem Magnetfeld durchsetzte Fläche einer Leiterschleife ändert, lässt sich berechnen über:

U_{ind} = n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}Uind=nBΔAΔtU_{ind} = n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}

Dabei bezeichnet n die Windungszahl der Leiterschleife.

B ist die Stärke des Magnetfeldes.

ΔA/Δt ist die Änderung der Fläche pro Zeit.

Einheit:

[U_{ind}] = \text{V}[Uind]=V[U_{ind}] = \text{V}

Teilweise findet man die Formel auch mit einem Minus vor dem n. Allerdings gibt dies nur die Richtung der Spannung an, ändert aber nicht den Betrag, und wird deshalb häufig weggelassen.

Induktion in einem Leiter

Wie kommt es zur Induktion?

Wenn sich Ladungen in einem Magnetfeld bewegen, so wirkt auf diese die Lorenzkraft.

  • Bewegt sich ein Ladungsträger in einem Magnetfeld, so wirkt die Lorenzkraft auf die Elektronen in dem Ladungsträger.
  • Durch die Lorenzkraft wandern die frei beweglichen Elektronen in eine Richtung (= Elektronenüberschuss).
  • Die positiven Ladungen bleiben auf der anderen Seite zurück, denn sie sind nicht frei beweglich. (= Elektronenmangel).
  • Es entsteht eine Spannung, die Induktionsspannung.

Bewegt sich nun eine Leiterschleife durch das Magnetfeld, so geschieht in den einzelnen Schleifenelementen exakt das Gleiche.


Beispiele

Induktionsspannung einer Leiterschleife

Eine Leiterschleife (n = 3) mit einer Breite d von 10 cm, wird mit 0,02 m/s in ein homogenes Magnetfeld (B = 0,5 T) geschoben. Wie groß ist die induzierte Spannung?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

n = 3 \\ d = 10 \text{ cm} = 0,1 \text{ m} \\ v = 0,02 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} n=3d=10 cm=0,1 mv=0,02msn = 3 \\ d = 10 \text{ cm} = 0,1 \text{ m} \\ v = 0,02 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

U_{ind}= \: ?Uind=?U_{ind}= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

U_ {ind} = n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}Uind=nBΔAΔtU_ {ind} = n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Über die Geschwindigkeit kannst du dir die Flächenänderung pro Zeit berechnen:

Es gilt:

s = v \cdot ts=vts = v \cdot t

Als t wählst du eine beliebige Zeit, z.B. eine Sekunde:

s = 0,02 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1 \text{ s}s=0,02ms1 ss = 0,02 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1 \text{ s}s = 0,02 \text{ m}s=0,02 ms = 0,02 \text{ m}

Das heißt also, dass in einer Sekunde die Leiterschleife sich um 0,02 m in das Magnetfeld hineinbewegt.

Somit ergibt sich für die Flächenänderung:

\frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{ \Delta s \cdot d}{\Delta t}ΔAΔt=ΔsdΔt\frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{ \Delta s \cdot d}{\Delta t}\frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{ 0,02 \text{ m} \cdot 0,1 \text{ m}}{1 \text{ s}} = \frac{0,002 \text{ m}^2}{1\text{ s}}ΔAΔt=0,02 m0,1 m1 s=0,002 m21 s\frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{ 0,02 \text{ m} \cdot 0,1 \text{ m}}{1 \text{ s}} = \frac{0,002 \text{ m}^2}{1\text{ s}}

Nun setzt du alles in die Formel für die induzierte Spannung ein:

U_{ind} = 3 \cdot 0,5 \text{ T} \cdot \frac{0,002 \text{ m}^2}{1 \text{ s}}Uind=30,5 T0,002 m21 sU_{ind} = 3 \cdot 0,5 \text{ T} \cdot \frac{0,002 \text{ m}^2}{1 \text{ s}}U_{ind} = 0,003 \text{ V} = 3 \text{ mV}Uind=0,003 V=3 mVU_{ind} = 0,003 \text{ V} = 3 \text{ mV}

Es wird also eine Spannung von 3 mV induziert.

Stärke des Magnetfeldes

Ein homogenes Magnetfeld durchsetzt eine Leiterschleife (n = 9; A = 0,5 m²). Die Leiterschleife wird nun in 3 Sekunden aus dem Magnetfeld herausgezogen. Es wird eine Spannung von 10 mV induziert. Wie stark ist das Magnetfeld?

Lösung

\underline \textsf{Gegeben}\underline \textsf{Gegeben}

n = 9\\ A = 0,5 \text{ m}^2 \\ \Delta t = 3 \text{ s}\\ U_{ind} = 10 \text{ mV} = 0,01 \text{ V} n=9A=0,5 m2Δt=3 sUind=10 mV=0,01 Vn = 9\\ A = 0,5 \text{ m}^2 \\ \Delta t = 3 \text{ s}\\ U_{ind} = 10 \text{ mV} = 0,01 \text{ V}

\underline \textsf{Gesucht}\underline \textsf{Gesucht}

B= \: ?B=?B= \: ?

\underline \textsf{Formel}\underline \textsf{Formel}

U_{ind} = n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}Uind=nBΔAΔtU_{ind} = n \cdot B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}

\underline{\textbf{Lösungsweg}}Lo¨sungsweg\underline{\textbf{Lösungsweg}}

Wenn die Leiterschleife in 3 Sekunden komplett aus dem Magnetfeld herausgezogen wird, dann gilt:

\frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{0,5 \text{ m}^2}{3 \text{ s}}ΔAΔt=0,5 m23 s\frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{0,5 \text{ m}^2}{3 \text{ s}}

Durch Umstellen der Formel für die induzierte Spannung erhälst du:

B = \frac{U_{ind}}{n \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}}B=UindnΔAΔtB = \frac{U_{ind}}{n \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t}}B = \frac{0,01 \text{ V}}{9 \cdot \frac{0,5 \text{ m}^2}{3 \text{ s}}}B=0,01 V90,5 m23 sB = \frac{0,01 \text{ V}}{9 \cdot \frac{0,5 \text{ m}^2}{3 \text{ s}}}B \approx 0,007 \text{ T} = 7 \text{ mT}B0,007 T=7 mTB \approx 0,007 \text{ T} = 7 \text{ mT}
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